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onesupeng

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[交流] 【讨论】一维Laplace基本解（格林函数）已有2人参与

我们在学数理方程的时候都讲了方程的基本解法，即格林函数叠加的办法。但是细心的人会发现，课上往往只讲二维和三维Laplace方程的基本解，却没有提到一维Laplace方程的基本解。为此，我提出一个问题供大家思考：一维拉普拉斯方程的格林函数是什么？即

d^2 G(x,x_0)/dx^2=\delta(x-x_0)

请推导出 G(x,x_0)

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1楼 2010-06-05 07:21:38

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wudi_82

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$latex=-\Delta u_{\varepsilon }=0;" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?-\Delta u_{\varepsilon }=0;" title="-\Delta u_{\varepsilon }=0;" /></a>$
$latex=-\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}@plus;\varepsilon }=\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}-\varepsilon }=\frac{1}{2}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?-\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}+\varepsilon }=\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}-\varepsilon }=\frac{1}{2}" title="-\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}+\varepsilon }=\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}-\varepsilon }=\frac{1}{2}" /></a>$
如果 $latex=\varepsilon \to 0, u_{\varepsilon } \to u" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\varepsilon \to 0, u_{\varepsilon } \to u" title="\varepsilon \to 0, u_{\varepsilon } \to u" /></a>$
那么 $latex=u(x)=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}(x-x_{0})@plus;C & x>x_{0}\\ \frac{1}{2}(x-x_{0})@plus;C & x<x_{0} \end{matrix}\right.}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?u(x)=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}(x-x_{0})+C & x>x_{0}\\ \frac{1}{2}(x-x_{0})+C & x<x_{0} \end{matrix}\right.}" title="u(x)=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}(x-x_{0})+C & x>x_{0}\\ \frac{1}{2}(x-x_{0})+C & x<x_{0} \end{matrix}\right.}" /></a>$
希望这次别失败。

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3楼2010-06-05 13:48:50

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wudi_82

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javeey:下方的下拉菜单是选第三个“URL"选项复制，为不是第一个选项。我尝试修改了几次，也没有修改出效果 2010-06-05 14:55:18

也许是这样，呵呵。
$latex=-\Delta u_{\varepsilon }=0;\\ -\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}@plus;\varepsilon }=\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}-\varepsilon }=\frac{1}{2}\\ \varepsilon \to 0, u_{\varepsilon } \to u\\ So, u(x)=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}(x-x_{0})@plus;C & x>x_{0}\\ \frac{1}{2}(x-x_{0})@plus;C & x<x_{0} \end{matrix}\right.}" target="_blank"><img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?-\Delta u_{\varepsilon }=0;\\ -\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}+\varepsilon }=\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}-\varepsilon }=\frac{1}{2}\\ \varepsilon \to 0, u_{\varepsilon } \to u\\ So, u(x)=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}(x-x_{0})+C & x>x_{0}\\ \frac{1}{2}(x-x_{0})+C & x<x_{0} \end{matrix}\right.}" title="-\Delta u_{\varepsilon }=0;\\ -\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}+\varepsilon }=\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}\mid _{x=x_{0}-\varepsilon }=\frac{1}{2}\\ \varepsilon \to 0, u_{\varepsilon } \to u\\ So, u(x)=\left\{\begin{matrix} -\frac{1}{2}(x-x_{0})+C & x>x_{0}\\ \frac{1}{2}(x-x_{0})+C & x<x_{0} \end{matrix}\right.}" /></a>$

[ Last edited by javeey on 2010-6-5 at 14:52 ]

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2楼2010-06-05 13:41:16

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4楼2010-06-05 14:11:24

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