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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】微分方程的收敛性
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dongqi_007

银虫 (初入文坛)
★
lipeng0327(金币+1):谢谢参与
lipeng0327(金币+1):你的意思是在相平面内考虑？从相平面中曲线的几何形状证明？ 2010-04-28 09:55
这个问题首先y轴为分界线，把上面的系统化为分片系统。然后找出零倾线。如果你的系统x=0没定义，那就很容易得出结论。个人看法，仅供参考！！
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11楼2010-04-27 20:41:33
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★
javeey(金币+2):谢谢参与讨论 2010-04-30 15:53
lipeng0327(金币+3):谢谢指导，对任意T, 总存在t1>T, t2>T, 使得: x(t1)=0, y(t2)=0 这个结论怎么证明？ 2010-04-30 16:53
问题好难, 我想了好久只做出来以下几个结论:
1, 如果某时刻T, x(T)=0, y(T)=0, 则: x=0, y=0 (t>T)
2, 对任意T, 总存在t1>T, t2>T, 使得: x(t1)=0, y(t2)=0

问题是, 如结论2中的{t1}, {t2}的集合的交集是否非空?暂时还没有想出来.
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12楼2010-04-30 15:45:42
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
bluesine(金币+3):谢谢专家指导。 2010-05-08 12:35:43
wuguocheng(数学EPI+1):辛苦了 2010-05-09 10:31:49
这个问题可以分四步证明：
1、方程配备初值，x(0), y(0)。首先说明解存在且唯一， (x,y)，x对t一阶导连续，y连续，方程几乎处处成立。
2、存在时间T0，使得 x(T0)=0。
3、考察方程：
x'=-k1*x^{\frac{1}{2}}-k2*x+y
y'=-k3-k4*x
在x(0)=0, y(0)=a>0，在x>0时函数性质。
证明，存在时间T，使得：x(T)=0, x(t)>0,  0 得到T=T(a), x'(T)=f(a)<0（表示与a有关）
4、由2、3的结论。
如果3中方程初始时刻在T0, x(T0)=0, y(T0)=a0>0，设T1=T(a0), a1=-f(a0)
（说明，如果a0=0, 由1已经得到；如果a0<0, 只需令x=-x，就是3中方程）
同样方程由初始时刻T0+T1，x(T0+T1)=0,  y(T0+T1)=a1>0, 得到 T2=T(a1), a2=f(a1).
（说明，此处方程3的解与原方程可能差别一个符号）
同理可以得到：Ti, ai
如果T0+T1+T2+......有界，则结论可以得证
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13楼2010-05-07 13:44:10
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jfili

金虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
证明2，
如果存在时间T, x(t)>0 (t>T)
则由方程知道 y'(t)<-1, y(t)<-t+T+y(T)
x'(t) x(t)<-1/2*t^2+1/2*T^2+C(t-T)+x(T) （t>T）
矛盾
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14楼2010-05-07 13:49:42
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