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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【讨论】自然数集合N的子集集合，其基数（势）是什么？【已解决】
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lizh714285

金虫 (小有名气)

[交流] 【讨论】自然数集合N的子集集合，其基数（势）是什么？【已解决】 已有2人参与

由于可列集合A都可以对应于自然数集，本论题实际是讨论：
   可列集合的子集构成的集合，其势是否大于阿列夫0

观点1： 由于任何集合A，其子集构成的集合都有比A更大的势，所以，自然数集合的子集集合，有更大的势。
   曾有一个非常著名的，而且很类似罗素悖论的证明，思路是A中的元与“A子集集合中的元，也就是某个A的子集”做对应，由于子集集合有全集，所以存在a, a属于与之对应的子集，同时由于子集集合有空集，所以存在b,b不属于与之对应的子集。 对于全体“具有b性质的元”构成的集合，显然也是A的子集，显然需要A中一个元与之对应，这个元素具有a性质还是b性质呢？引出矛盾，说明不可能做出一一对应。

观点2：可构造一个排法，排列这些子集；
空集、自然数集N、{1}、{2}、{1，2}、{3}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、{4}、{1，4}、{2，4}、{3，4}、{1，2，4}、{1，3，4}、{2，3，4}、{1，2，3，4}、{5}、{1，5}、{2，5}、{3，5}、{4，5}、{1，2，5}、{1，3，5}、{1，4，5}、{2，3，5}、{2，4，5}、{3，4，5}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，3，4，5}、{2，3，4，5}、{1，2，3，4，5}、{6}......
其规律不难发现，并且，可以排出任意一个自然数集

大家讨论一下，哪个错了？

[ Last edited by lizh714285 on 2010-4-1 at 21:05 ]
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1楼 2010-04-01 14:02:59
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lizh714285

金虫 (小有名气)
3楼，对不起，确实可以选出无限子集；例如：N-{1}
问题是，“能表述出来的"那些无限子集，仍然可以想办法作出一个序列。
序列+序列仍然是序列

[ Last edited by lizh714285 on 2010-5-19 at 16:38 ]
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5楼2010-04-01 18:53:17
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lizh714285

金虫 (小有名气)
回复4楼，
应能构造一种去掉无限元素的方法，这种方法是否可列？
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6楼2010-04-01 18:58:04
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lizh714285

金虫 (小有名气)
7楼是
比如，去掉无限多后，剩下的集仍是可列集（或有限，不考虑剩下有限）；
仍可映射回N
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8楼2010-04-01 19:10:57
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lizh714285

金虫 (小有名气)
取实数X，X>0,X<1
将X表成二进制小数0.100110110111001010111011......
从小数点后第一位算起，以（各个小数位）来对应自然数数列；哪一位是0则对应自然数将保留，哪一位是1，则对应自然数将划去。
如此构造了一个自然数子集。
在0到1之间的任意两实数，其二进制小数表述必不相同；即所构造的自然数子集不同。
——————实现了0到1间实数与自然数子集集合的一个子集的对应。
即：自然数子集集合的势是大于或等于阿列夫1的。

[ Last edited by lizh714285 on 2010-4-2 at 22:15 ]
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9楼2010-04-01 19:25:39
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lizh714285

金虫 (小有名气)
加上0（表成0.000000000.....）和1（表成0.1111111111....）
则完全对应上自然数的各个子集。
即：自然数子集集合的势等于阿列夫1。

这个证明有问题吗？
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10楼2010-04-01 19:35:02
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lizh714285

金虫 (小有名气)
还有一个小问题，就是能表成二进制有限小数的实数
如规定其有效数字后边全是0，则不会有形如0.11100100100100111111111.....的数出现； 这种方法构造了【0，1】上实数与自然数子集集合的一个真子集对应。
然而，不能对应的部分，就是“能表成二进制有限小数”的那些数，是可列的

[ Last edited by lizh714285 on 2010-4-1 at 20:00 ]
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11楼2010-04-01 19:56:00
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lizh714285

金虫 (小有名气)
这么好的结论，申请加精呀！
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12楼2010-04-01 21:23:18
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lizh714285

金虫 (小有名气)
回复13楼：
观点2，排列了【“存在最大自然数n的”那些自然数子集】。确实是【有限自然数子集】的集合。 事实上，3楼、4楼指出，可以有不存在最大自然数n的自然数子集，例如，偶数集合、素数集合等。
恰恰是“不存在最大自然数n”的自然数子集， 其构成的集合不可列。
那么，是否可以构造一种办法，来表出【“不存在最大自然数n”的自然数子集】呢？
9楼就是在这种思路下产生的一种办法，将其与（0，1）上的实数对应。
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14楼2010-04-02 11:20:51
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lizh714285

金虫 (小有名气)
又有一种方法，证明自然数子集集合的势大于阿列夫0（但不能证明等于阿列夫1）

实数理论中的有理数分割，创造了两个有理数子集；譬如，确定实数根号2的分割，是：将负有理数和那些平方小于2的非负有理数纳入一个集合（所谓下集）；将其余有理数纳入另一个集合（上集）；那么，每个分割定义了一个实数。

不同实数的下集不同；即，这些下集是不同的有理数集合子集。取（0，1）区间的所有实数，构成实数集合，其势是阿列夫1；而定义它们的，有理数分割下集组成的集合，与这个实数集合构成一一对应。

即我们已经找出了一个“由有理数集合组成的集合”，其势是阿列夫1.
可以获得结论：由【有理数集合的子集】构成的集合，其势不小于阿列夫1.
有理数可列，于是得出本楼结论

[ Last edited by lizh714285 on 2010-4-3 at 21:03 ]
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15楼2010-04-03 18:53:25
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