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lizh714285

金虫 (小有名气)

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[交流] 【讨论】自然数集合N的子集集合，其基数（势）是什么？【已解决】已有2人参与

由于可列集合A都可以对应于自然数集，本论题实际是讨论：
可列集合的子集构成的集合，其势是否大于阿列夫0

观点1：由于任何集合A，其子集构成的集合都有比A更大的势，所以，自然数集合的子集集合，有更大的势。
曾有一个非常著名的，而且很类似罗素悖论的证明，思路是A中的元与“A子集集合中的元，也就是某个A的子集”做对应，由于子集集合有全集，所以存在a, a属于与之对应的子集，同时由于子集集合有空集，所以存在b,b不属于与之对应的子集。对于全体“具有b性质的元”构成的集合，显然也是A的子集，显然需要A中一个元与之对应，这个元素具有a性质还是b性质呢？引出矛盾，说明不可能做出一一对应。

观点2：可构造一个排法，排列这些子集；
空集、自然数集N、{1}、{2}、{1，2}、{3}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、{4}、{1，4}、{2，4}、{3，4}、{1，2，4}、{1，3，4}、{2，3，4}、{1，2，3，4}、{5}、{1，5}、{2，5}、{3，5}、{4，5}、{1，2，5}、{1，3，5}、{1，4，5}、{2，3，5}、{2，4，5}、{3，4，5}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，3，4，5}、{2，3，4，5}、{1，2，3，4，5}、{6}......
其规律不难发现，并且，可以排出任意一个自然数集

大家讨论一下，哪个错了？

[ Last edited by lizh714285 on 2010-4-1 at 21:05 ]

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1楼 2010-04-01 14:02:59

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lizh714285

金虫 (小有名气)

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取实数X，X>0,X<1
将X表成二进制小数0.100110110111001010111011......
从小数点后第一位算起，以（各个小数位）来对应自然数数列；哪一位是0则对应自然数将保留，哪一位是1，则对应自然数将划去。
如此构造了一个自然数子集。
在0到1之间的任意两实数，其二进制小数表述必不相同；即所构造的自然数子集不同。
——————实现了0到1间实数与自然数子集集合的一个子集的对应。
即：自然数子集集合的势是大于或等于阿列夫1的。

[ Last edited by lizh714285 on 2010-4-2 at 22:15 ]