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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【讨论】自然数集合N的子集集合，其基数（势）是什么？【已解决】
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lizh714285

金虫 (小有名气)

[交流] 【讨论】自然数集合N的子集集合，其基数（势）是什么？【已解决】 已有2人参与

由于可列集合A都可以对应于自然数集，本论题实际是讨论：
   可列集合的子集构成的集合，其势是否大于阿列夫0

观点1： 由于任何集合A，其子集构成的集合都有比A更大的势，所以，自然数集合的子集集合，有更大的势。
   曾有一个非常著名的，而且很类似罗素悖论的证明，思路是A中的元与“A子集集合中的元，也就是某个A的子集”做对应，由于子集集合有全集，所以存在a, a属于与之对应的子集，同时由于子集集合有空集，所以存在b,b不属于与之对应的子集。 对于全体“具有b性质的元”构成的集合，显然也是A的子集，显然需要A中一个元与之对应，这个元素具有a性质还是b性质呢？引出矛盾，说明不可能做出一一对应。

观点2：可构造一个排法，排列这些子集；
空集、自然数集N、{1}、{2}、{1，2}、{3}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、{4}、{1，4}、{2，4}、{3，4}、{1，2，4}、{1，3，4}、{2，3，4}、{1，2，3，4}、{5}、{1，5}、{2，5}、{3，5}、{4，5}、{1，2，5}、{1，3，5}、{1，4，5}、{2，3，5}、{2，4，5}、{3，4，5}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，3，4，5}、{2，3，4，5}、{1，2，3，4，5}、{6}......
其规律不难发现，并且，可以排出任意一个自然数集

大家讨论一下，哪个错了？

[ Last edited by lizh714285 on 2010-4-1 at 21:05 ]
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1楼 2010-04-01 14:02:59
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fyq98

木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):恭喜抢沙发，给个红包
lizh714285(金币+1):谢谢讨论； 这里观点1就是这个结论。请大家讨论就是看看观点2 怎样被驳倒； 2010-04-01 18:33
这就是著名的连续统假设
即：自然数集合N的子集集合，其基数（势）是阿烈夫1，且在阿烈夫1与阿烈夫0（自然数集合N的基数）之间不存在其他基数

呵呵，你要是能肯定（或者否定）这个结论，就厉害了！
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克难奋进
2楼2010-04-01 18:22:44
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fyq98

木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
lizh714285(金币+1):这不是理由，当你从自然数集的子集集合中，取出一个元来，除了全集外，这个元一定是有限的 2010-04-01 18:45
你这个排法的问题在于：没有考虑自然数集无限子集所形成的无限子集的集合。
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克难奋进
3楼2010-04-01 18:41:28
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fyq98

木虫 (正式写手)
lizh714285(金币+1):同4楼回复 2010-04-01 18:56
为什只是考虑去掉一个元素，甚至有限个元素？
我们也可以去掉无限个元素啊，这是剩余集合还是无限的。
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克难奋进
4楼2010-04-01 18:49:56
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lizh714285

金虫 (小有名气)
3楼，对不起，确实可以选出无限子集；例如：N-{1}
问题是，“能表述出来的"那些无限子集，仍然可以想办法作出一个序列。
序列+序列仍然是序列

[ Last edited by lizh714285 on 2010-5-19 at 16:38 ]
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5楼2010-04-01 18:53:17
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lizh714285

金虫 (小有名气)
回复4楼，
应能构造一种去掉无限元素的方法，这种方法是否可列？
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6楼2010-04-01 18:58:04
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fyq98

木虫 (正式写手)
lizh714285(金币+1):是的 2010-04-01 19:08
lizh714285(金币+2):多谢提醒。你在4楼的提醒是至关重要的 2010-04-01 19:39
试一试，你就会发现陷于循环之中了，呵呵！
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克难奋进
7楼2010-04-01 19:02:22
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lizh714285

金虫 (小有名气)
7楼是
比如，去掉无限多后，剩下的集仍是可列集（或有限，不考虑剩下有限）；
仍可映射回N
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8楼2010-04-01 19:10:57
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lizh714285

金虫 (小有名气)
取实数X，X>0,X<1
将X表成二进制小数0.100110110111001010111011......
从小数点后第一位算起，以（各个小数位）来对应自然数数列；哪一位是0则对应自然数将保留，哪一位是1，则对应自然数将划去。
如此构造了一个自然数子集。
在0到1之间的任意两实数，其二进制小数表述必不相同；即所构造的自然数子集不同。
——————实现了0到1间实数与自然数子集集合的一个子集的对应。
即：自然数子集集合的势是大于或等于阿列夫1的。

[ Last edited by lizh714285 on 2010-4-2 at 22:15 ]
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9楼2010-04-01 19:25:39
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lizh714285

金虫 (小有名气)
加上0（表成0.000000000.....）和1（表成0.1111111111....）
则完全对应上自然数的各个子集。
即：自然数子集集合的势等于阿列夫1。

这个证明有问题吗？
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10楼2010-04-01 19:35:02
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