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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】请帮忙解答一个小问题：微分方程的解
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yuandian

金虫 (正式写手)

[交流] 【求助】请帮忙解答一个小问题：微分方程的解

微分方程
y"+ay'+by+cy2+d=0

其中y是关于x的函数，y"、y'分别是对y的二次、一次求导，y2只y的二次方（不知道怎么加上标），a，b，c，d是不含x的常量，请问可不可以解呢？

如果可以的话，怎么解呢？

当时微分学的都忘了，一时查起来也没有头绪，期待热心虫虫的解答~~~

[ Last edited by javeey on 2010-3-22 at 08:46 ]
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1楼 2010-01-28 23:20:03
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狂风1981

木虫 (著名写手)

逍遥流
★
小木虫(金币+0.5):恭喜抢沙发，给个红包
yuandian(金币+1):嘿嘿，好处理就不在这儿求助了 2010-02-02 06:25
非线性的，不好处理啊
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为什么我的眼里总饱含着泪水，那是因为我对这片土地爱得深沉~
2楼2010-01-29 09:43:26
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xinhero

银虫 (正式写手)
★ ★
小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
yuandian(金币+1):恩~ 2010-03-18 06:08
bluesine(金币+1):同意！ 2010-03-18 09:27
这个没有一般的解法。若系数具有特殊性（如某个为零），或者可解。。
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3楼2010-01-29 11:02:00
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fanwoduzun

铜虫 (初入文坛)
bluesine:仁兄解给我们看看。天才惊现了！ 2010-03-18 09:27
很好解啊！那是二阶非齐次线性微分方程 a b c d 为常量  解它是用特征方程解就哦了，具体公式你去查高等数学下册的微分方程那一章，由于电脑里没有符号，我在这里只给你一个提示，望见谅！！！
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知识改变命运!
4楼2010-01-29 19:30:23
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fyq98

木虫 (正式写手)
★
yuandian(金币+1):多谢啦 2010-03-18 06:08
bluesine(金币+1):说的很中肯，感觉是这样的 2010-03-18 09:27
首先,这个方程有常数解,即方程by+cy2+d=0的解,将微分方程的解表为
z+c,则原方程可化为不含常数项的方程z"+az'+bz+cz2=0

其次，可以考虑将方程z"+az'+bz+cz2=0
是否有特解，采取利卡提方程的处理方式

总之，不大容易，除非系数较特殊
赞一下(1人) 回复此楼
克难奋进
5楼2010-01-29 20:45:54
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匿名

用户注销 (正式写手)
yuandian(金币+1):多谢哈 2010-03-18 06:08
本帖仅楼主可见
赞一下
6楼2010-01-30 21:02:31
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yinzhiminghao

铁杆木虫 (职业作家)
bluesine:呵呵，希望思考之后有部分想法 2010-03-18 09:28
思考思考
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人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。
7楼2010-01-30 21:40:46
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scuxchen

金虫 (著名写手)
★ ★ ★ ★
Doctorcbw(金币+1):谢谢参与 2010-02-03 19:06
yuandian(金币+1):多谢~专业 2010-03-18 06:07
bluesine(金币+3):有兴趣做数学班专家么？呵呵 2010-03-18 09:25
引用回帖:
Originally posted by yuandian at 2010-01-28 23:20:03:
微分方程
y"+ay'+by+cy2+d=0

其中y是关于x的函数，y"、y'分别是对y的二次、一次求导，y2只y的二次方（不知道怎么加上标），a，b，c，d是不含x的常量，请问可不可以解呢？

如果可以的话，怎么解呢 ...

此方程为非线性2阶常微分方程。是没有一般求解公式的。一般思路就是降阶升维，变成二维一阶微分系统。给楼主推荐J.K. Hale的《Ordinary Differential Equations》,如果此书不能帮你解决，那基本上普天之下都无人能解。
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拳打脚踢
8楼2010-02-02 16:27:15
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fyq98

木虫 (正式写手)
★
bluesine(金币+1):非线性的，什么方法都失灵。不信你试试，呵呵 2010-03-18 09:26
想了几天
再次回答这个问题：
这个问题可以采取幂级数求解法！
设其解为一个幂级数，带入方程，然后比较方程两端同次幂的系数，将会得到
关于系数的一组代数方程，从这些方程中解出系数即可！
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克难奋进
9楼2010-03-18 09:19:50
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fyq98

木虫 (正式写手)
bluesine:偶曾经试过，搞不定。现在看着就。。。 2010-03-18 09:26
y2这一项当然也还是一个幂级数，即两个幂级数的乘积
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克难奋进
10楼2010-03-18 09:21:56
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