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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 理论物理&天文 » 【求助】如何计算一维无限深势阱中粒子的动量值
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
引用回帖:
Originally posted by 天仙老人 at 2009-12-26 11:13:

那快说说你的看法，我可能也和这位老师一样走入同样的误区了，因为我也由这个问题得出了量子力学存在自相矛盾

在无限深势阱中，动量的确不是好量子数。但是，用动量的本征态展开能量的本征态是没有任何问题的。而且展开后两个动量本征态的本征值大小相等，方向相反。或者说，体系能量本征态是两个动量本征态线性叠加而形成一种束缚态。这种态，就类似于经典力学中的“驻波”。
我是这么理解的。有什么问题吗，谁可以赐教一下。
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11楼2009-12-26 11:20:40
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just_play

至尊木虫 (正式写手)
引用回帖:
Originally posted by phy-liwei at 2009-12-26 10:07:
对于这个问题， 动量都已经不是一个好量子数了，怎么从本征态上去做事情都是错误的。同时，这个问题还闹出过个笑话，是上海交通大学数学系的一位老师评判说推翻量子力学， 说的就是这个问题！呵呵！

动量算符与能量算符�?易，为守恒量，为何不是好量子数？？

关于“上海交通大学数学系的一位老师评判说推翻量子力学， 说的就是这个问题！”，愿闻其详，谢谢！

[ Last edited by just_play on 2009-12-26 at 12:31 ]
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So Trivial !
12楼2009-12-26 12:29:36
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
引用回帖:
Originally posted by yzcluster at 2009-12-26 11:20:


在无限深势阱中，动量的确不是好量子数。但是，用动量的本征态展开能量的本征态是没有任何问题的。而且展开后两个动量本征态的本征值大小相等，方向相反。或者说，体系能量本征态是两个动量本征态线性叠加而形 ...

我也理解的“用动量的本征态展开能量的本征态是没有任何问题的”，但比如仅考虑基态，粒子处于能量本征态，能量值即为基态能级，值是唯一的，但此能量本征态对应几个动量本征态的叠加呢，或者说此基态能级对应几个动量本征值呢？若说只对应“两个本征值大小相等，方向相反”的动量本征态是不对的。把基态波函数用动量本征函数展开，再由傅里叶变换求得展开系数，即得到粒子的动量分布，由此可知动量有很多可能取值，取各个值的概率即为展开系数模的平方，这些可能的取值即是动量的本征值，但本征值是多少，该如何计算呢？
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成功需要智勇的执著
13楼2009-12-26 13:09:03
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xzc1987

新虫 (初入文坛)
★
天仙老人(金币+1,VIP+0): 12-28 08:42
晕，动量是连续的啊
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14楼2009-12-26 13:10:08
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
引用回帖:
Originally posted by xzc1987 at 2009-12-26 13:10:
晕，动量是连续的啊

动量怎么会是连续的呢，动量若是连续的，能量不也是连续的了吗？
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成功需要智勇的执著
15楼2009-12-26 13:16:52
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phy-liwei

木虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by yzcluster at 2009-12-26 11:20:


在无限深势阱中，动量的确不是好量子数。但是，用动量的本征态展开能量的本征态是没有任何问题的。而且展开后两个动量本征态的本征值大小相等，方向相反。或者说，体系能量本征态是两个动量本征态线性叠加而形 ...

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你的说法是没有问题的！但是没回答楼主讲的问题上！也就是说你没有做任何事情，无非就是把本征态改写成指数形式而已。这个时候你的态依然不是动量的本征态。
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16楼2009-12-26 14:20:46
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phy-liwei

木虫 (小有名气)
★
天仙老人(金币+1,VIP+0): 12-26 16:40
引用回帖:
Originally posted by 天仙老人 at 2009-12-26 11:13:

那快说说你的看法，我可能也和这位老师一样走入同样的误区了，因为我也由这个问题得出了量子力学存在自相矛盾

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找到了上海交通大学的的那位教授的paper了：
陶宗英,  大学物理, Vol. 17, 19 (1998).
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17楼2009-12-26 14:46:08
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
引用回帖:
Originally posted by just_play at 2009-12-26 12:29:


动量算符与能量算符�?易，为守恒量，为何不是好量子数？？

关于“上海交通大学数学系的一位老师评判说推翻量子力学， 说的就是这个问题！”，愿闻其详，谢谢！

[ Last edited by just_play on 2009-12 ...

这个是不对易的。整个体系的势能是当x<0和x>a时为无穷大，而只有在0-a这一段之间是0。而没有任何理由可以认为无穷大的势能与动量算符对易。所以动量p跟H不对易。
另外，从求解的结果可以看到，体系H的本征态是sin或是cos函数，不是e的指数形式（而仅仅是e指数形式的叠加），P和H没有共同的本征态（或者说，H的本征态是P本征态的叠加），因此是不对易的。
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18楼2009-12-26 15:59:54
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
引用回帖:
Originally posted by phy-liwei at 2009-12-26 14:20:


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你的说法是没有问题的！但是没回答楼主讲的问题上！也就是说你没有做任何事情，无非就是把本征态改写成指数形式而已。这个时候你的态依然不是动量的本征态。

LZ的问题是“如何计算一维无限深势阱中粒子的动量值，及动量取各个值的概率，势阱宽度为a。”
现在的情况是，可以求出粒子的能量本征态，而由于P不是好量子数，所以这个本征态不是P的本征态。大家都知道无限深势阱的本征态是sin函数。从数学上，我可以进行展开，即sin=1/2i (e-e)，也就是正弦可以展成两个e指数形式相减。但是，如果从物理上理解，左边的sin函数是体系的某个本征态，而右边的e指数恰恰是动量p本征态，因此，很轻松的就把体系的能量本征态向动量的本征态展开了，不是吗？
由此可以预言，由于无限深势阱的所有函数都是sin等形式，所以他们都包含了两个方向相反的平面波（也就是动量的本征态），而且这两个平面波的展开系数比是1：1。
因此我想，如果您仅仅从数学上看把sin展开成两个e的叠加确实没有什么新意，如果从物理上看呢？不知道PL虫友同意我的看法吗？
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19楼2009-12-26 16:11:26
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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊
引用回帖:
Originally posted by phy-liwei at 2009-12-26 14:46:

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找到了上海交通大学的的那位教授的paper了：
陶宗英,  大学物理, Vol. 17, 19 (1998).

谢谢指引，我确实和这位老师有着相同的疑惑，但水平尚浅，也只是疑惑找不到解决的办法
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成功需要智勇的执著
20楼2009-12-26 16:44:37
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