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shenjiaxi

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[交流] 【求助】关于带导数的积分方程的求解问题，请大家帮个忙（已解决）

今天解了个积分方程，用的是求导的方法，可是得到的结果代入原方程，方程两边却不相等。请大家帮忙解答一下！谢谢！具体问题见附件！
ps：下载附件不需要付金币！
不会传图，只好把图和word放在一起，搞个压缩包传上来。
谢谢大家的帮助！感激不尽！

[ Last edited by formleaf on 2009-11-12 at 12:45 ]

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1楼 2009-11-07 10:55:12

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Pchief

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shenjiaxi(金币+5,VIP+0):谢谢！ 11-9 16:29

引用回帖:

Originally posted by shenjiaxi at 2009-11-9 09:21:
你说的很有道理，可是倒数第二个式子中怎么会有u（0）呢？我不明白，请指点！

首先，显然 u(t)≡0 是这个方程的解，其次，这个方程满足解的唯一性定理条件，所以如果有解 u(t) 不恒为零，那么它也就恒不为零（要不然在它与 x 轴交点处解的唯一性就被破坏了），这个时候才能用 u(t) 去除方程两边，得到

u'(t) /u(t) = 1/N

积分：

ln |u(t)| = t/N + c,

|u(t)| = C e^{t/N} （令C=e^c）

u(t) = ±C e^{t/N}

按照以上的求解过程，C 只能是正数。将前面的正负号去掉之后，C 可以是任何实数，但仍然不能是零。然而我们将特解 u(t)≡0 包含进来之后，就可以认为 C 也可以取零值了；因此通解就是

u(t)=C e^{t/N}

令 t=0 得 C=u(0)，所以上式也可写为

u(t)=u(0) e^{t/N}

另外，注意上面的求解过程就会发现，任意常数 c 出现在指数的位置时，C=e^c 是不能为零的，同时通解也不包括零解。而当任意常数 C 出现在因子的位置时，它就可以取得零值，使得通解包括零解。所以你的（６）式也有着同样的局限性，你试试把任意常数 C_1 从指数的位置搬下来，而写成如下形式：

P(t) = -{C/K} e^{-Kt} + C_2

这个时候就可以令 C=0，就会发现 P(t) 原本只是一个常数了。

[ Last edited by Pchief on 2009-11-9 at 14:19 ]