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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】关于带导数的积分方程的求解问题，请大家帮个忙（已解决）
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shenjiaxi

金虫 (小有名气)

[交流] 【求助】关于带导数的积分方程的求解问题，请大家帮个忙（已解决）

今天解了个积分方程，用的是求导的方法，可是得到的结果代入原方程，方程两边却不相等。请大家帮忙解答一下！谢谢！具体问题见附件！
ps：下载附件不需要付金币！
不会传图，只好把图和word放在一起，搞个压缩包传上来。
谢谢大家的帮助！感激不尽！


[ Last edited by formleaf on 2009-11-12 at 12:45 ]
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1楼2009-11-07 10:55:12
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
shenjiaxi(金币+1):谢谢参与
shenjiaxi(金币+10,VIP+0):谢谢！你说的很有道理，可是倒数第二个式子中怎么会有u（0）呢？我不明白，请指点！ 11-9 09:19
楼主，我认为你忽略了一点，那就是你的（３）式其实是一个带初始条件的柯西问题，而不是一个单纯的微分方程，求解它的时候，必须时时考虑到初始条件，实际上，根据你的初始条件只能得出 P'(t)≡0 的解（看下面图片），这就是说，你在由（５）式转到（６）式的过程中两边用 P'(t) 去除，那就相当于除以零，结果当然就不对了。

[ Last edited by Pchief on 2009-11-8 at 20:01 ]
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7楼2009-11-08 17:17:44
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★
shenjiaxi(金币+5,VIP+0):谢谢！ 11-9 16:29
引用回帖:
Originally posted by shenjiaxi at 2009-11-9 09:21:
你说的很有道理，可是倒数第二个式子中怎么会有u（0）呢？我不明白，请指点！

首先，显然 u(t)≡0 是这个方程的解，其次，这个方程满足解的唯一性定理条件，所以如果有解 u(t) 不恒为零，那么它也就恒不为零（要不然在它与 x 轴交点处解的唯一性就被破坏了），这个时候才能用 u(t) 去除方程两边，得到

u'(t) /u(t) = 1/N

积分：

ln |u(t)| = t/N + c,  

|u(t)| = C e^{t/N} （令C=e^c）

u(t) = ±C e^{t/N}  

按照以上的求解过程，C 只能是正数。将前面的正负号去掉之后，C 可以是任何实数，但仍然不能是零。 然而我们将特解 u(t)≡0 包含进来之后，就可以认为 C 也可以取零值了；因此通解就是

u(t)=C e^{t/N}  

令 t=0 得 C=u(0)，所以上式也可写为

u(t)=u(0) e^{t/N}

另外，注意上面的求解过程就会发现，任意常数 c 出现在指数的位置时，C=e^c 是不能为零的，同时通解也不包括零解。而当任意常数 C 出现在因子的位置时，它就可以取得零值，使得通解包括零解。所以你的（６）式也有着同样的局限性，你试试把任意常数 C_1 从指数的位置搬下来，而写成如下形式：

P(t) = -{C/K} e^{-Kt} + C_2

这个时候就可以令 C=0，就会发现 P(t) 原本只是一个常数了。

[ Last edited by Pchief on 2009-11-9 at 14:19 ]
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12楼2009-11-09 14:05:08
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
formleaf(金币+3,VIP+0):谢谢你的热心帮助！ 11-10 08:36
shenjiaxi(金币+10,VIP+0):谢谢你的帮助！这回我终于搞懂了！谢谢！ 11-10 18:33
引用回帖:
Originally posted by shenjiaxi at 2009-11-9 16:34:
哦，我现在明白了，p(t)等于常数是方程的解。那再请教一下，有没有满足方程的非常数解呢？
还有，p(t)等于常数这个解代入式（3）、式（4）、式（5）都成立，而式（6）这个解代入式（4）、式（5）也都成立，而唯独 ...

这个，我前面已经说过了啊，（３）这个式子比较特殊，它隐含一个初始条件，就是

N P'(0)=0.

你令K=(Nβ - 1)/N，那你已经相当于承认 N 不是零，既然如此那就只有

P'(0)=0

而满足这个初始条件的只有 P'(t)≡0 一个解，而我上面说过你的 （６）式有个局限，就是恰恰不包括 P'(t)≡0 这个解，这样的话代进去当然就不对了。

至于会不会有 P(t) 不等于常数的解呢？回答也很简单，既然（３）只有 P'(t)≡0 这一个解，那当然是不会有了。
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15楼2009-11-09 19:16:07
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
不用再给我加币了，该得的我都得了。
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20楼2009-11-10 20:44:38
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