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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » [连续性] 如果f(x)只能取有理值，那么如何通过连续性的定义证明此函数不连续？
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5261092

新虫 (初入文坛)

[求助] [连续性] 如果f(x)只能取有理值，那么如何通过连续性的定义证明此函数不连续？ 已有3人参与

大家好！

最近看连续性定义有个小问题请教大家：

如果f(x)只能取有理值，那么如何通过连续性的定义证明此函数不连续？（不考虑f(x)=const）

连续性的严格定义：

函数f(x)在其定义域中的点x0是连续的，如果对于每一个正数a，我们都能找到一个正数b，对定义域中满足abs( x-x0 )<b的一切x值，

不等式abs[ f(x) - f(x0) ]<a成立，则可以称f(x)在点x0处是连续的。

我理解证明方法应该是：a可以取两个有理数之间的无理数，这样就说明a不能为“每一个正数”。

但从定义出发，你任取一个正数a，我的确能找到一个正数b，满足连续性的定义啊，我两个有理数之差同样可以为无限小。

请大神解惑，如何理解这一点。
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1楼 2018-10-31 18:03:35
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lwloveflxgg

禁虫 (知名作家)
本帖内容被屏蔽
2楼2018-10-31 18:12:22
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5261092

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by lwloveflxgg at 2018-10-31 18:12:22
涉及无限的一般采用反证法构造一个结构

首先感谢回答！
我觉得是我陷入了一个怪圈。连续性用文字表示，可以粗浅的理解为：当x充分接近x0时，f(x)同函数值f(x0)相差任意小。当时百多年也没人说清楚无穷小是啥后来才有柯西提出严格的定义。
但如何用严格定义反正此时的f(x)不连续，我怎么也想不明白。
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3楼2018-11-01 08:21:11
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木子1001

新虫 (正式写手)
我感觉是你自己想的太复杂了吧

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4楼2018-11-02 08:31:27
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上官梦云

铁虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你这问题好搞笑啊，常数函数啊！谁跟你说的只能取有理数值就不连续了！
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5楼2018-11-03 10:27:30
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梦不知天

新虫 (正式写手)
有理数是可数集，无理数是不可数的，也就是你总能找到一个开集，里面有无数无理数，却只有一个有理数x0，由于f(x)在无理数上无定义，所以当x充分接近x0时f(x)与f(x0)的值相差可以不是无穷小

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6楼2018-11-03 10:30:04
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lwloveflxgg

禁虫 (知名作家)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
5261092: 金币+10 2018-11-06 20:03:04
本帖内容被屏蔽
7楼2018-11-03 14:57:12
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5261092

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 上官梦云 at 2018-11-03 10:27:30
你这问题好搞笑啊，常数函数啊！谁跟你说的只能取有理数值就不连续了！

最近看连续性定义有个小问题请教大家：

如果f(x)只能取有理值，那么如何通过连续性的定义证明此函数不连续？（不考虑f(x)=const）

额 我已经在题注里注明了...
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8楼2018-11-06 19:53:16
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5261092

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
7楼: Originally posted by lwloveflxgg at 2018-11-03 14:57:12
连续的定义是 存在 |x-x|&lt;δ  任意|y-y|&lt;ε   反证就是需要构造    不 （存在 |x-x|&lt;δ  使得 任意|y-y|&lt;ε） 也就是对于任意 |x-x|&lt;δ  存在|y-y|&gt;ε

感谢！
如果正向去思考的话，感觉无论如何取ε，总能找到δ，有理数也能无限接近另一个有理数。

但如果反向思考，有理数之间存在无理数，那么也就是总是存在“间隙”，使f(x)无法接近f(x0)。
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9楼2018-11-06 20:01:15
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

引用回帖:
9楼: Originally posted by 5261092 at 2018-11-06 20:01:15
感谢！
如果正向去思考的话，感觉无论如何取ε，总能找到δ，有理数也能无限接近另一个有理数。

但如果反向思考，有理数之间存在无理数，那么也就是总是存在“间隙”，使f(x)无法接近f(x0)。...

考虑定义在[0，,1]上的黎曼函数，定义如下：

R(x)=1/q,，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数);
R(x)=0，当x=0,1和(0,1)内的无理数.

这个函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。(网上搜索有具体证明)

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PreferenceforMathematics
10楼2018-11-07 12:18:43
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