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[连续性] 如果f(x)只能取有理值，那么如何通过连续性的定义证明此函数不连续？已有3人参与
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大家好！ 最近看连续性定义有个小问题请教大家： 如果f(x)只能取有理值，那么如何通过连续性的定义证明此函数不连续？（不考虑f(x)=const） 连续性的严格定义： 函数f(x)在其定义域中的点x0是连续的，如果对于每一个正数a，我们都能找到一个正数b，对定义域中满足abs( x-x0 )<b的一切x值， 不等式abs[ f(x) - f(x0) ]<a成立，则可以称f(x)在点x0处是连续的。 我理解证明方法应该是：a可以取两个有理数之间的无理数，这样就说明a不能为“每一个正数”。 但从定义出发，你任取一个正数a，我的确能找到一个正数b，满足连续性的定义啊，我两个有理数之差同样可以为无限小。 请大神解惑，如何理解这一点。 |
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lwloveflxgg
禁虫 (知名作家)
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2楼2018-10-31 18:12:22
后来才有柯西提出严格的定义。
3楼2018-11-01 08:21:11
4楼2018-11-02 08:31:27
5楼2018-11-03 10:27:30
梦不知天
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有理数是可数集，无理数是不可数的，也就是你总能找到一个开集，里面有无数无理数，却只有一个有理数x0，由于f(x)在无理数上无定义，所以当x充分接近x0时f(x)与f(x0)的值相差可以不是无穷小 发自小木虫Android客户端 |
6楼2018-11-03 10:30:04
lwloveflxgg
禁虫 (知名作家)
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7楼2018-11-03 14:57:12
8楼2018-11-06 19:53:16
9楼2018-11-06 20:01:15
终之太刀—晓
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【答案】应助回帖
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考虑定义在[0，,1]上的黎曼函数，定义如下： R(x)=1/q,，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数); R(x)=0，当x=0,1和(0,1)内的无理数. 这个函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。(网上搜索有具体证明) 发自小木虫Android客户端 |
10楼2018-11-07 12:18:43