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clcfang

银虫 (小有名气)

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[求助] 证明极限存在，并求出已有1人参与

lim（1+1/32）（1+1/42）......（1+1/n2）（n趋向于正无穷）

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数学！数学！

1楼2018-03-19 16:55:35

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hylpy

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

这样写的题谁看得懂啊？是不是这题： $\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{3^2})(1+\frac{1}{4^2})\cdots \cdots (1+\frac{1}{n^2}).$

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凡事，一笑而过。。。。。。

2楼2018-03-19 18:07:21

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【答案】应助回帖

极限存在是显然的。因为级数无穷乘积通项： $\lim_{n \to +\infty }p_n=\lim_{n \to +\infty }(1+\frac{1}{n^2})=1.$

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5楼2018-03-20 11:07:27

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引用回帖:

6楼: Originally posted by Pchief at 2018-03-20 11:50:11
光凭通项趋近于1即可断定无穷乘积收敛？孩纸，要好好想想啊...

更正一下。

$\prod_{n=3}^{+\infty }p_n\sim \sum_{n=3}^{+\infty }\frac{1}{n^2}$ 同收敛。

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7楼2018-03-20 12:30:46

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【答案】应助回帖

由 $\sinh(\pi x)$ 的无穷乘积公式：

$\frac{\sinh(\pi x)}{\pi x}=\prod_{n=1}^{\infty }\left ( 1+\frac{x^2}{n^2} \right ).$

令 $x=1,$ 有：

$\prod_{n=1}^{\infty }\left ( 1+\frac{1}{n^2} \right )=\frac{\sinh\pi}{\pi}=.$

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11楼2018-03-30 13:06:47

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【答案】应助回帖

$\prod_{n=1}^{\infty }\left ( 1+\frac{1}{n^2} \right )=\frac{e^\pi -e^{-\pi }}{2\pi }.$

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12楼2018-03-30 13:19:27

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