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mathfool

新虫 (初入文坛)

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[求助] 求助一道傅立叶分析的题已有4人参与

感觉上应该用多项式逼近来做……求指点

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1楼 2017-05-06 16:27:27

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alober

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n迫近无穷大时f可以不是0。根据 Riemann 引理只要f(x)在区间上可积，在n迫近无穷大时积分总是0。

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2楼2017-05-06 17:04:41

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

这个f(x)可否先进行偶延拓，然后展成余弦傅立叶级数，然后由题设条件知道每项的系数都为零，故f(x)恒等于零呢？

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3楼2017-05-07 09:57:45

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alober

木虫 (著名写手)

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3楼: Originally posted by peterflyer at 2017-05-07 09:57:45
这个f(x)可否先进行偶延拓，然后展成余弦傅立叶级数，然后由题设条件知道每项的系数都为零，故f(x)恒等于零呢？

最显然的就是当f(x)=1,2这类常数时积分是0。

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4楼2017-05-07 10:26:15

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西门犨

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【答案】应助回帖

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这个是对的吗？我怎么直觉这个结果是错的呢？从 Hilbert 空间的正交规范基来看很容易吧。

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忙起来了，整个世界清静了，啊！啊！啊！啊！啊！

5楼2017-05-07 16:07:18

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alober

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哦，我错在忽略了n=0的情况。前面3楼的解答是对的。让F(x)=f(|x|)，展开系数是 $c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x)e^{inx}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x)(\cos nx-i\sin nx)dx = \frac{1}{2\pi}(\int_{-\pi}^{0}F(x)\cos nxdx+\int_{0}^{\pi}F(x)\cos nxdx) = \frac{1}{2\pi}(\int_{-\pi}^{0}f(-x)\cos nxdx+\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nxdx) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}f(t)\cos nxdx = 0$ ，再用勾股定理 $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|F(x)|^2dx=\sum|c_n|^2=0$ ，在 $[0,\pi]$ 上就有f(x)=F(x)=0

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6楼2017-05-07 16:49:22

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songbai_hnu

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引用回帖:

6楼: Originally posted by alober at 2017-05-07 16:49:22
哦，我错在忽略了n=0的情况。前面3楼的解答是对的。让F(x)=f(|x|)，展开系数是c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x)e^{inx}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(x)(\cos nx-i\sin nx)dx = \frac{1}{2\pi}(\int ...

F(x)的Fourier级数收敛于F(x)的充分条件中只有连续不够，这里用一下实变和泛函的知识可能要好一些.

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7楼2017-05-17 18:43:26

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