版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

TererceCY

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 9.4
帖子: 31
在线: 17.6小时
虫号: 5396018
注册: 2016-12-25
专业: 凝聚态物性 II ：电子结构

[求助] 求助一道积分! 已有4人参与

求:函数f(x)=(xarctan)^2/(1+x^2)在0～1上的定积分!

发自小木虫Android客户端

回复此楼

» 猜你喜欢

一志愿中南化学337求调剂已经有5人回复
281求调剂（0805）已经有23人回复
265求调剂已经有9人回复
279分求调剂一志愿211 已经有10人回复
招收调剂硕士已经有12人回复
296求调剂已经有8人回复
招收博士1-2人已经有3人回复
085700资源与环境308求调剂已经有11人回复
274求调剂已经有8人回复
290求调剂已经有4人回复

» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:

一道二重积分题的解答已经有20人回复
关于广义积分的一道题，怎么都做不出来，求助啊！已经有6人回复
一道定积分求助！已经有12人回复
求助一道重积分题目问题在附件中谢谢了已经有3人回复
求助一道曲面积分：x2+y2=1,y2+z2=1,z2+x2=1所围图形的表面积已经有2人回复
【求助】帮忙解一道积分题已经有9人回复
求助数学高人解一道积分题已经有10人回复
【求助】一道积分题！！已经有8人回复

1楼 2016-12-26 20:16:17

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

ys38079456

金虫 (小有名气)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 1425.4
散金: 178
红花: 3
帖子: 195
在线: 91.8小时
虫号: 4031942
注册: 2015-08-21
性别: GG
专业: 星系和类星体

发自小木虫Android客户端

赞一下(1人)

回复此楼

3楼2016-12-26 22:14:43

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22815.2
红花: 25
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731
注册: 2014-07-20

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

$2i\arctan x = \ln(1+ix)-\ln(1-ix)$ ，两边平方得
$-4\arctan^2x = (\ln(1+ix)-\ln(1-ix))^2 = \ln^2(1+ix)+\ln^2(1-ix)-2\ln(1+ix)\ln(1-ix)$
所以
$-4I = \int\left[\ln^2(1+ix)+\ln^2(1-ix)-2\ln(1+ix)\ln(1-ix)\right]dx$

令t=1+ix，则dt = idx，于是
$\int_{0}^{1}\ln^2(1+ix)dx= -i\int_{1}^{1+i}\ln^2t \cdot (t)'dt = -i([t\ln^2t]_{1}^{1+i}-\int_{1}^{1+i}t \cdot (\ln^2t)'dt)= -i((1+i)\ln^2(1+i)-2\int_{1}^{1+i}\ln tdt) = (1-i)\ln^2(1+i)+2i[-t+t\ln t]_{1}^{1+i}=(2-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^2}{16}-\ln2+\frac{\pi\ln2}{4}+\frac{\ln^22}{4})+i(\ln2-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi^2}{16}+\frac{\pi\ln2}{4}-\frac{\ln^22}{4})$

令t=1-ix，则dt=-idx，于是
$\int_{0}^{1}\ln^2(1-ix)dx = i\int_{1}^{1-i}\ln^2t \cdot (t)'dt = i([t\ln^2t]_{1}^{1-i}-\int_{1}^{1-i}t \cdot (\ln^2t)'dt)=i((1-i)\ln^2(1-i)-2\int_{1}^{1-i}\ln tdt) = (1+i)\ln^2(1-i)-2i[-t+t\ln t]_{1}^{1-i}=(2-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^2}{16}-\ln2+\frac{\pi\ln2}{4}+\frac{\ln^22}{4})+i(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^2}{16}-\ln2-\frac{\pi\ln2}{4}+\frac{\ln^22}{4})$

令u=\ln(1+ix), v'=\ln(1-ix)，则 $u'=\frac{1}{x-i}, v = (x+i)(-1+\ln(1-ix))$ 。于是
$\int_{0}^{1}\ln(1+ix)\ln(1-ix)dx = uv-\int vu'dx= [(x+i)(-1+\ln(1-ix))\ln(1+ix)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{(x+i)(-1+\ln(1-ix))}{x-i}dx= (1+i)(-1+\ln(1-i))\ln(1+i)+\int_{0}^{1}(1+\frac{2i}{x-i}-\frac{(x+i)\ln(1-ix)}{x-i})dx= (1+i)(-1+\ln(1-i))\ln(1+i)+1-\frac{\pi}{2}+i\ln2-\int_{0}^{1}\frac{(x+i)\ln(1-ix)}{x-i}dx= (\frac{\pi^2}{16}-\frac{\pi}{4}+1+\frac{\ln^22}{4}-\frac{\ln2}{2})+i(\frac{\pi^2}{16}-\frac{\pi}{4}+\frac{\ln^22}{4}+\frac{\ln2}{2})-\int_{0}^{1}\frac{(x+i)\ln(1-ix)}{x-i}dx$

于是
$-4I = 2-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^2}{4}-\ln2+\frac{\pi\ln2}{2}+i(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi^2}{8}-\ln2-\frac{\ln^22}{2})+2\int_{0}^{1}\frac{(x+i)\ln(1-ix)}{x-i}dx$

令t=x-i，则dt=dx，于是
$\int_{0}^{1}\frac{(x+i)\ln(1-ix)}{x-i}dx = \int_{-i}^{1-i}\frac{(t+2i)(\ln(t+2i)-\ln i)}{t}dt = \int_{-i}^{1-i}(\frac{\pi}{t}-\frac{i\pi}{2}+\ln(t+2i)+\frac{2i\ln(t+2i)}{t})dt= \frac{\pi}{4}-1+\frac{\ln2}{2}+\frac{\pi\ln2}{2}+i(\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi}{4}+\frac{\ln2}{2})+2i\int_{-i}^{1-i}\frac{\ln(t+2i)}{t}dt$

于是
$-4I = -\frac{\pi^2}{4}+\frac{3\pi\ln2}{2}+i(\frac{3\pi^2}{8}-\frac{\ln^22}{2})+4i\int_{-i}^{1-i}\frac{\ln(t+2i)}{t}dt$

令 $s = \frac{t}{2i}$ ，则 $ds = \frac{dt}{2i}$ ，所以
$\int_{-i}^{1-i}\frac{\ln(t+2i)}{t}dt = \int_{-\frac{1}{2}}^{-\frac{1+i}{2}}\frac{\ln(s+1)+\ln(2i)}{2is}2ids = \int_{-\frac{1}{2}}^{-\frac{1+i}{2}}\frac{\ln(s+1)}{s}ds + \frac{\ln^22}{2}-\frac{\pi^2}{8}+i\frac{\pi\ln2}{2}= -Li_2(\frac{1+i}{2})+Li_2(\frac{1}{2})+\frac{\ln^22}{2}-\frac{\pi^2}{8}+i\frac{\pi\ln2}{2} = -Li_2(\frac{1+i}{2})-\frac{\pi^2}{24}+\frac{i\pi\ln2}{2}$

所以
$-4I = i(-4Li_2(\frac{1+i}{2})+\frac{5\pi^2}{24}-\frac{\ln^22}{2})-\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi\ln2}{2}$

而
$Li_2(\frac{1+i}{2}) = Li_2(1-\frac{1-i}{2}) = -\frac{\ln^2(\frac{1-i}{2})}{2}-Li_2(1-\frac{1}{\frac{1-i}{2}}) = \frac{\pi^2}{32}-\frac{\ln^22}{8}-\frac{i\pi\ln2}{8}-Li_2(-i)$

所以
$-4I = 4iLi_2(-i)-\pi^2(\frac{1}{4}-\frac{i}{12})-\pi\ln2 = 4G-\frac{\pi}{4}(\pi +4\ln2)$

因此 $I = \frac{\pi(\pi+4\ln2)}{16}-G$

赞一下(1人)

回复此楼

16楼2016-12-27 19:25:24

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

普通回帖

dongdalixue

新虫 (初入文坛)

应助: 1 (幼儿园)
金币: 558.2
帖子: 41
在线: 5.3小时
虫号: 3670175
注册: 2015-01-30
性别: GG
专业: 流体力学

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

引用回帖:

1楼: Originally posted by TererceCY at 2016-12-26 20:16:17
求:函数f(x)=(xarctan)^2/(1+x^2)在0～1上的定积分!

题目是不是写错了，是arctanx吧

发自小木虫Android客户端

赞一下

回复此楼

2楼2016-12-26 21:39:32

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

ys38079456

金虫 (小有名气)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 1425.4
散金: 178
红花: 3
帖子: 195
在线: 91.8小时
虫号: 4031942
注册: 2015-08-21
性别: GG
专业: 星系和类星体

如上

发自小木虫Android客户端

回复此楼

4楼2016-12-26 22:14:55

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

TererceCY

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 9.4
帖子: 31
在线: 17.6小时
虫号: 5396018
注册: 2016-12-25
专业: 凝聚态物性 II ：电子结构

引用回帖:

2楼: Originally posted by dongdalixue at 2016-12-26 21:39:32
题目是不是写错了，是arctanx吧
...

是的，不好意思，那该怎么做呢？

发自小木虫Android客户端

赞一下

回复此楼

5楼2016-12-27 09:46:56

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

TererceCY

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 9.4
帖子: 31
在线: 17.6小时
虫号: 5396018
注册: 2016-12-25
专业: 凝聚态物性 II ：电子结构

引用回帖:

4楼: Originally posted by ys38079456 at 2016-12-26 22:14:55
如上

(atctanx)^2还要乘x^2啊！就是因为多了x?才不会的。。。

发自小木虫Android客户端

赞一下

回复此楼

6楼2016-12-27 09:48:54

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

ys38079456

金虫 (小有名气)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 1425.4
散金: 178
红花: 3
帖子: 195
在线: 91.8小时
虫号: 4031942
注册: 2015-08-21
性别: GG
专业: 星系和类星体

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

引用回帖:

6楼: Originally posted by TererceCY at 2016-12-27 09:48:54
(atctanx)^2还要乘x^2啊！就是因为多了x?才不会的。。。
...

没看到哈，分部积分一下就好

发自小木虫Android客户端

赞一下

回复此楼

7楼2016-12-27 12:21:29

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

ys38079456

金虫 (小有名气)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 1425.4
散金: 178
红花: 3
帖子: 195
在线: 91.8小时
虫号: 4031942
注册: 2015-08-21
性别: GG
专业: 星系和类星体

等下啊，分部积分错了

发自小木虫Android客户端

赞一下

回复此楼

8楼2016-12-27 12:22:46

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

TererceCY

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 9.4
帖子: 31
在线: 17.6小时
虫号: 5396018
注册: 2016-12-25
专业: 凝聚态物性 II ：电子结构

引用回帖:

8楼: Originally posted by ys38079456 at 2016-12-27 12:22:46
等下啊，分部积分错了

我也是在这里遇到问题的

发自小木虫Android客户端

赞一下

回复此楼

9楼2016-12-27 12:24:29

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

ys38079456

金虫 (小有名气)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 1425.4
散金: 178
红花: 3
帖子: 195
在线: 91.8小时
虫号: 4031942
注册: 2015-08-21
性别: GG
专业: 星系和类星体

这个不能用初等积分表示，做不出来。

发自小木虫Android客户端

赞一下

回复此楼

10楼2016-12-27 13:07:11

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 TererceCY 的主题更新

返回列表

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 296求调剂 +4	www_q 2026-03-18	8/400	2026-03-20 12:12 by 学员8dgXkO
[考研] 290求调剂 +4	^O^乜 2026-03-19	4/200	2026-03-20 11:51 by 学员8dgXkO
[考研] 一志愿南京航空航天大学大学，080500材料科学与工程学硕 +4	@taotao 2026-03-20	4/200	2026-03-20 10:37 by EBSD
[考研] 298-一志愿中国农业大学-求调剂 +8	手机用户 2026-03-17	8/400	2026-03-20 09:32 by 陆伶越
[考研] 271材料工程求调剂 +7	.6lL 2026-03-18	7/350	2026-03-20 09:10 by xingguangj
[考研] 329求调剂 +6	想上学吖吖 2026-03-19	6/300	2026-03-20 09:00 by 每天只摆一小会
[考博] 东华理工大学化材专业26届硕士博士申请 +8	zlingli 2026-03-13	8/400	2026-03-19 16:32 by 轻松不少随
[考研] 一志愿北京化工大学0703化学318分，有科研经历，求调剂 +3	一瓶苯甲酸 2026-03-14	3/150	2026-03-19 15:17 by 尽舜尧1
[考研] 311求调剂 +4	冬十三 2026-03-18	4/200	2026-03-18 21:47 by 尽舜尧1
[考研] 344求调剂 +6	knight344 2026-03-16	7/350	2026-03-18 20:13 by walc
[考研] 302求调剂 +10	呼呼呼。。。。 2026-03-17	10/500	2026-03-18 12:45 by Linda Hu
[考研] 0854，计算机类招收调剂 +3	胡辣汤放糖 2026-03-15	6/300	2026-03-18 12:09 by 上岸上岸……..
[考研] 299求调剂 +5	△小透明* 2026-03-17	5/250	2026-03-18 11:49 by 尽舜尧1
[考研] 生物学071000 329分求调剂 +3	我爱生物生物爱� 2026-03-17	3/150	2026-03-18 10:12 by macy2011
[考研] 301求调剂 +9	yy要上岸呀 2026-03-17	9/450	2026-03-18 08:58 by 无际的草原
[考研] [导师推荐]西南科技大学国防/材料导师推荐 +3	尖角小荷 2026-03-16	6/300	2026-03-16 23:21 by 尖角小荷
[考研] 机械专硕325，寻找调剂院校 +3	y9999 2026-03-15	5/250	2026-03-16 19:58 by y9999
[考研] 321求调剂 +5	大米饭！ 2026-03-15	5/250	2026-03-16 16:33 by houyaoxu
[考研] 070305求调剂 +3	mlpqaz03 2026-03-14	4/200	2026-03-15 11:04 by peike
[考研] 266求调剂 +4	学员97LZgn 2026-03-13	4/200	2026-03-14 08:37 by zhukairuo