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geoquality

铁虫 (初入文坛)

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[求助] 求助一道曲面积分：x2+y2=1,y2+z2=1,z2+x2=1所围图形的表面积

求 x^2+y^2=1, y^2+z^2=1, z^2+x^2=1所围图形的表面积。
最好是简洁一点的方法，谢谢！！

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1楼 2013-01-09 20:49:52

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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

首先，根据对称性，我们只需要计算第一卦限部分即可。在第一卦限内，将曲面向xoy面投影，投影区域为
x^2+y^2<=1, 0<=x,y<=1;
曲面方程成为：z=sqrt(1-x^2), 当x>y时；z=sqrt(1-y^2),当x 以D2为例，这部分面积=int_0^{sqrt(2)/2}dy int_y^{sqrt(1-y^2)}1/{sqrt(1-x^2)}dx=2-sqrt(2),
最后面积=16×（2-sqrt(2)）.

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鲜花因生之绚烂而凋谢，珊瑚因死之静默而永恒。

2楼2013-01-09 23:44:46

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geoquality

铁虫 (初入文坛)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by archdevil at 2013-01-09 23:44:46
首先，根据对称性，我们只需要计算第一卦限部分即可。在第一卦限内，将曲面向xoy面投影，投影区域为
x^2+y^2<=1, 0<=x,y<=1;
曲面方程成为：z=sqrt(1-x^2), 当x>y时；z=sqrt(1-y^2),当x<y时。即将 ...

嗯，谢谢！
不过应该是24×(2-sqrt(2))。
根据对称性，一共有8×3=24个相同的“单元”。

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3楼2013-01-13 00:09:02

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