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本帖产生 1 个数学EPI ，点击这里进行查看

思动

金虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 593.5
帖子: 43
在线: 12小时
虫号: 3946261

★
Edstrayer(金币+1): 谢谢参与

圣诞快乐

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303楼2016-12-25 14:05:52

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22700.2
帖子: 2662
在线: 473.6小时
虫号: 3331731

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, thank 2016-12-25 19:26:26
Edstrayer: 数学EPI+1 2017-02-26 00:23:09

令 $f(x)=\frac{\sinh tx}{\sinh x}$ ，因为当0 < t < 1时 $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$ ，所以 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx=2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z)$ ，其中 $z_k=k\pi i$ 。因此 $Res_{z=k\pi i}e^{i\alpha z}f(z)=e^{i\alpha k\pi i}\frac{\sinh t(k\pi i)}{(\sinh z)'}=e^{-\alpha k\pi}\frac{\sinh t(k\pi i)}{\cosh k\pi i}=(-1)^kie^{-\alpha k\pi}\sin kt\pi$ ，令 $\alpha=0$ ，于是 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos\alpha xdx=\Re(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx)=\Re(2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z))=\Im(-2\pi\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{-\alpha k\pi}(\cos kt\pi+i\sin kt\pi))=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi-\alpha k\pi})=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi})=-2\pi\Im(\frac{1}{1+e^{it\pi}})=-2\pi\frac{-\sin t\pi}{2+2\cos t\pi}=\pi\frac{\sin t\pi}{1+\cos t\pi}$

令y=bx,t=a/b，则 $I=\frac{1}{b}\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{1}{2b}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{\pi\sin \frac{a}{b}\pi}{2b(1+\cos \frac{a}{b}\pi)}$

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304楼2016-12-25 14:13:08

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jdld331

银虫 (小有名气)

应助: 1 (幼儿园)
金币: 3665.9
帖子: 257
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虫号: 3121345

可以可以

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306楼2016-12-25 14:26:07

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hylpy

专家顾问 (知名作家)

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

引用回帖:

304楼: Originally posted by alober at 2016-12-25 14:13:08
令f(x)=\frac{\sinh tx}{\sinh x}，因为当0 < t < 1时\lim_{x \to \infty}f(x)=0，所以\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx=2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z)，其中z_k=k\pi ...

我没想出直接积分的办法.

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309楼2016-12-25 18:35:07

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22700.2
帖子: 2662
在线: 473.6小时
虫号: 3331731

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, 好漂亮的证法，thank 2016-12-26 01:23:06

引用回帖:

309楼: Originally posted by hylpy at 2016-12-25 18:35:07
我没想出直接积分的办法....

不太清楚什么是直接积分，是不是只用实积分？这样用一些函数的性质也可以算。
因为 $\frac{1}{\sinh x}=2\sum_{k \in \mathbb{Z}}e^{-(2k+1)x}$ ，所以 $bI=2\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy$ ，令 $u = \sinh ty, v'=e^{-(2k+1)y}$ ，则 $u' = t\cosh ty, v = -\frac{1}{2k+1}e^{-(2k+1)y}$ ，所以 $\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{2k+1}\int_{0}^{+\infty}\cosh ty e^{-(2k+1)y}dy$ 。令 $u = \cosh ty$ ，则 $u' = t\sinh ty$ ，所以 $\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{2k+1}(\frac{1}{2k+1}+\frac{t}{2k+1}\int_{0}^{\infty}\sinh tye^{-(2k+1)y}dy)$ ，因此 $\int_{0}^{\infty}\sinh tye^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{(2k+1)^2-t^2}$ ，于是 $\frac{bI}{2} = \sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\frac{t}{(2k+1)^2-t^2} = \frac{1}{2}\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}(\frac{1}{2k+1-t}-\frac{1}{2k+1+t}) = \frac{1}{4}\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}(\frac{1}{k+\frac{1-t}{2}}-\frac{1}{k+\frac{1+t}{2}}) = \frac{1}{4}\lim_{s \to 1}(\zeta(s,\frac{1-t}{2})-\zeta(s,\frac{1+t}{2})) = \frac{1}{4}((-\psi(\frac{1-t}{2})+\frac{1}{s-1})-(-\psi(\frac{1+t}{2})+\frac{1}{s-1})) = \frac{1}{4}(\psi(1-\frac{1-t}{2})-\psi(\frac{1-t}{2})) = \frac{\pi\cot \pi\frac{1-t}{2}}{4} = \frac{\pi\tan\frac{t\pi}{2}}{4}$

于是 $I = \frac{\pi\tan\frac{t\pi}{2}}{2b} = \frac{\pi\tan\frac{a\pi}{2b}}{2b}$

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hylpy

310楼2016-12-25 21:39:35

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此木有光

新虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 332
帖子: 111
在线: 21.5小时
虫号: 4950396

节日快乐

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311楼2016-12-25 22:33:04

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hylpy

专家顾问 (知名作家)

送红花一朵

引用回帖:

310楼: Originally posted by alober at 2016-12-25 21:39:35
不太清楚什么是直接积分，是不是只用实积分？这样用一些函数的性质也可以算。
因为\frac{1}{\sinh x}=2\sum_{k \in \mathbb{Z}}e^{-(2k+1)x}，所以bI=2\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{- ...

送花,

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312楼2016-12-25 23:21:04

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