祝圣诞节日快乐，散金300 - 数学 - 考博考研 - 第7页小木虫论坛-学术科研互动平台

版块导航: 正在加载中...

客户端APP下载

论文辅导

调剂小程序

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

返回列表

首页

本帖产生 1 个数学EPI ，点击这里进行查看

思动

金虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 593.5
帖子: 43
在线: 12小时
虫号: 3946261

★
Edstrayer(金币+1): 谢谢参与

圣诞快乐

发自小木虫Android客户端

回复此楼

303楼2016-12-25 14:05:52

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22815.2
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, thank 2016-12-25 19:26:26
Edstrayer: 数学EPI+1 2017-02-26 00:23:09

令 $f(x)=\frac{\sinh tx}{\sinh x}$ ，因为当0 < t < 1时 $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$ ，所以 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx=2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z)$ ，其中 $z_k=k\pi i$ 。因此 $Res_{z=k\pi i}e^{i\alpha z}f(z)=e^{i\alpha k\pi i}\frac{\sinh t(k\pi i)}{(\sinh z)'}=e^{-\alpha k\pi}\frac{\sinh t(k\pi i)}{\cosh k\pi i}=(-1)^kie^{-\alpha k\pi}\sin kt\pi$ ，令 $\alpha=0$ ，于是 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos\alpha xdx=\Re(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx)=\Re(2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z))=\Im(-2\pi\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{-\alpha k\pi}(\cos kt\pi+i\sin kt\pi))=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi-\alpha k\pi})=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi})=-2\pi\Im(\frac{1}{1+e^{it\pi}})=-2\pi\frac{-\sin t\pi}{2+2\cos t\pi}=\pi\frac{\sin t\pi}{1+\cos t\pi}$

令y=bx,t=a/b，则 $I=\frac{1}{b}\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{1}{2b}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{\pi\sin \frac{a}{b}\pi}{2b(1+\cos \frac{a}{b}\pi)}$

赞一下(3人)

回复此楼

304楼2016-12-25 14:13:08

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

jdld331

银虫 (小有名气)

应助: 1 (幼儿园)
金币: 3665.9
帖子: 257
在线: 105.1小时
虫号: 3121345

可以可以

发自小木虫Android客户端

回复此楼

306楼2016-12-25 14:26:07

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hylpy

专家顾问 (知名作家)

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

引用回帖:

304楼: Originally posted by alober at 2016-12-25 14:13:08
令f(x)=\frac{\sinh tx}{\sinh x}，因为当0 < t < 1时\lim_{x \to \infty}f(x)=0，所以\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx=2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z)，其中z_k=k\pi ...

我没想出直接积分的办法.

赞一下

回复此楼

309楼2016-12-25 18:35:07

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22815.2
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, 好漂亮的证法，thank 2016-12-26 01:23:06

引用回帖:

309楼: Originally posted by hylpy at 2016-12-25 18:35:07
我没想出直接积分的办法....

不太清楚什么是直接积分，是不是只用实积分？这样用一些函数的性质也可以算。
因为 $\frac{1}{\sinh x}=2\sum_{k \in \mathbb{Z}}e^{-(2k+1)x}$ ，所以 $bI=2\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy$ ，令 $u = \sinh ty, v'=e^{-(2k+1)y}$ ，则 $u' = t\cosh ty, v = -\frac{1}{2k+1}e^{-(2k+1)y}$ ，所以 $\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{2k+1}\int_{0}^{+\infty}\cosh ty e^{-(2k+1)y}dy$ 。令 $u = \cosh ty$ ，则 $u' = t\sinh ty$ ，所以 $\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{2k+1}(\frac{1}{2k+1}+\frac{t}{2k+1}\int_{0}^{\infty}\sinh tye^{-(2k+1)y}dy)$ ，因此 $\int_{0}^{\infty}\sinh tye^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{(2k+1)^2-t^2}$ ，于是 $\frac{bI}{2} = \sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\frac{t}{(2k+1)^2-t^2} = \frac{1}{2}\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}(\frac{1}{2k+1-t}-\frac{1}{2k+1+t}) = \frac{1}{4}\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}(\frac{1}{k+\frac{1-t}{2}}-\frac{1}{k+\frac{1+t}{2}}) = \frac{1}{4}\lim_{s \to 1}(\zeta(s,\frac{1-t}{2})-\zeta(s,\frac{1+t}{2})) = \frac{1}{4}((-\psi(\frac{1-t}{2})+\frac{1}{s-1})-(-\psi(\frac{1+t}{2})+\frac{1}{s-1})) = \frac{1}{4}(\psi(1-\frac{1-t}{2})-\psi(\frac{1-t}{2})) = \frac{\pi\cot \pi\frac{1-t}{2}}{4} = \frac{\pi\tan\frac{t\pi}{2}}{4}$

于是 $I = \frac{\pi\tan\frac{t\pi}{2}}{2b} = \frac{\pi\tan\frac{a\pi}{2b}}{2b}$

赞一下

回复此楼

» 本帖已获得的红花（最新10朵）

hylpy

310楼2016-12-25 21:39:35

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

此木有光

新虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 332
帖子: 111
在线: 21.5小时
虫号: 4950396

节日快乐

[ 发自手机版 https://muchong.com/3g ]

回复此楼

311楼2016-12-25 22:33:04

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hylpy

专家顾问 (知名作家)

送红花一朵

引用回帖:

310楼: Originally posted by alober at 2016-12-25 21:39:35
不太清楚什么是直接积分，是不是只用实积分？这样用一些函数的性质也可以算。
因为\frac{1}{\sinh x}=2\sum_{k \in \mathbb{Z}}e^{-(2k+1)x}，所以bI=2\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{- ...

送花,

回复此楼

312楼2016-12-25 23:21:04

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

清心晓至

木虫 (小有名气)

应助: 1 (幼儿园)
金币: 3216.7
帖子: 112
在线: 22.3小时
虫号: 2067402

圣诞节快乐！

发自小木虫Android客户端

回复此楼

316楼2016-12-26 06:57:34

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

jiuzhoupharm

木虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 1580.3
帖子: 566
在线: 151.5小时
虫号: 1894567

加油

发自小木虫Android客户端

回复此楼

317楼2016-12-26 07:11:17

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

nyjyrff

铜虫 (正式写手)

应助: 8 (幼儿园)
金币: 1369.9
帖子: 379
在线: 62.9小时
虫号: 1375488

快乐圣诞节

发自小木虫Android客户端

回复此楼

318楼2016-12-26 07:16:14

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

蒋士成

捐助贵宾 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 115.4
帖子: 135
在线: 61.6小时
虫号: 4682567

★
Edstrayer: 金币+1 2016-12-27 00:06:25

回复能拿金币？

发自小木虫Android客户端

回复此楼

319楼2016-12-26 07:22:40

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

AnglineCC

木虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 14103.1
帖子: 814
在线: 25.5小时
虫号: 413144

同乐

发自小木虫IOS客户端

回复此楼

320楼2016-12-26 07:22:55

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

474327768

铁杆木虫 (知名作家)

应助: 39 (小学生)
金币: 7738.8
帖子: 9470
在线: 333.2小时
虫号: 2018113

可以

发自小木虫Android客户端

回复此楼

321楼2016-12-26 07:32:14

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

wallacegznu

金虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 5707.7
帖子: 555
在线: 79.3小时
虫号: 4477515

加油

发自小木虫Android客户端

回复此楼

322楼2016-12-26 07:49:11

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

chengle80

禁虫 (正式写手)

本帖内容被屏蔽

323楼2016-12-26 07:52:21

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

jierst

新虫 (著名写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 8649
帖子: 1028
在线: 11.6小时
虫号: 5398595

腻害！

发自小木虫Android客户端

回复此楼

325楼2016-12-26 08:44:09

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

renatahappy

铁虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 45.7
帖子: 27
在线: 13.4小时
虫号: 1384055

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

新年快乐，新年有新收获

赞一下

回复此楼

326楼2016-12-26 11:03:15

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

maojun1998

银虫 (正式写手)

数学EPI: 1
应助: 16 (小学生)
金币: 461.1
帖子: 664
在线: 169.3小时
虫号: 3338525

送红花一朵

谢谢版主

回复此楼

328楼2016-12-28 23:11:09

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

漆小七

新虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 1796.9
帖子: 432
在线: 73.2小时
虫号: 4239676

哈哈

发自小木虫Android客户端

回复此楼

331楼2017-02-22 17:13:04

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

郭志鸿1993

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 8
帖子: 12
在线: 2.5小时
虫号: 5672343

同乐

发自小木虫IOS客户端

回复此楼

332楼2017-02-22 17:16:12

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

简单回复

祎。301楼

2016-12-25 14:02 回复

Edstrayer(金币+1): 谢谢参与

啊发自小木虫IOS客户端

chentao302楼

2016-12-25 14:05 回复

Edstrayer(金币+1): 谢谢参与

xatu666305楼

2016-12-25 14:14 回复

发自小木虫Android客户端

peterflyer307楼

2016-12-25 14:45 回复

zmh0611308楼

2016-12-25 14:49 回复

顶发自小木虫IOS客户端

lee_0712313楼

2016-12-25 23:52 回复

好发自小木虫Android客户端

a0500719314楼

2016-12-26 00:04 回复

1129458492315楼

2016-12-26 05:49 回复

发自小木虫Android客户端

38322wabck324楼

2016-12-26 08:23 回复

发自小木虫Android客户端

visiter123327楼

2016-12-27 01:09 回复

乐发自小木虫Android客户端

homepp329楼

2016-12-30 07:17 回复

祝福发自小木虫Android客户端

丁雪丰330楼

2016-12-30 11:43 回复

发自小木虫Android客户端

冬日曙光333楼

2017-02-25 10:46 回复

。发自小木虫Android客户端

相关版块跳转我要订阅楼主 Edstrayer 的主题更新

返回列表

首页

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[考研] 293求调剂 +6	勇远库爱314 2026-04-08	6/300	2026-04-11 10:08 by zhq0425
[考研] 326求调剂 +5	Shansyn 2026-04-10	5/250	2026-04-10 22:23 by 猪会飞
[考研] 一志愿矿大，材料工程专硕314分，0856可调都可以 +15	无懈可击的巨人 2026-04-09	15/750	2026-04-10 18:10 by hmn_wj
[论文投稿] mdpi小修rvr时间四五天了 20+3	哈哈high 2026-04-08	5/250	2026-04-10 16:02 by 北京莱茵润色
[考研] 一志愿211，化学学硕，310分，本科重点双非，求调剂 +27	努力奋斗112 2026-04-07	30/1500	2026-04-10 15:06 by Kilig0317
[考研] 调剂申请086000一志愿西北农林科技大学生物与医药320分-本科齐鲁工业大学 +3	美美女士 2026-04-09	3/150	2026-04-10 10:31 by liuhuiying09
[考研] 求调剂 +11	翩翩一书生 2026-04-09	13/650	2026-04-10 10:27 by liuhuiying09
[考研] 求 +6	化工专硕323分 2026-04-04	6/300	2026-04-10 10:04 by may_新宇
[考研] 308求调剂 +21	倘若起风了呢 2026-04-05	21/1050	2026-04-10 08:13 by Sammy2
[考研] 一志愿郑州大学 22408 305分求调剂 +3	安小满zzz 2026-04-08	3/150	2026-04-09 16:16 by wp06
[硕博家园] 新一代电子信息294求调剂不挑学校 +5	Ytyt11 2026-04-09	6/300	2026-04-09 14:40 by Ytyt11
[考研] 086004 求调剂 309 +7	Yin DY 2026-04-08	7/350	2026-04-09 13:59 by Delta2012
[考研] 一志愿985初试354分生物调剂 +3	031001 2026-04-06	3/150	2026-04-09 00:30 by Evan_Liu
[考研] 一志愿华南师范大学0702物理学305调剂 +4	念常安 2026-04-07	6/300	2026-04-08 22:53 by bljnqdcc
[考博] 材料方向考博，求推荐 +3	言语aaa 2026-04-05	4/200	2026-04-08 22:22 by nxgogo
[考研] 327求调剂 +12	Xxjc1107. 2026-04-06	12/600	2026-04-08 16:46 by luoyongfeng
[考研] 318求调剂 +5	李青山山山 2026-04-07	5/250	2026-04-07 18:24 by 蓝云思雨
[考研] 材料调剂 +14	壹贰贰亿 2026-04-04	14/700	2026-04-05 23:31 by 来看流星雨10
[考研] 考研调剂 +11	小sun要好运 2026-04-04	11/550	2026-04-05 08:02 by qlm5820
[考研] 359求调剂 +7	hhhhaaaa$ 2026-04-04	7/350	2026-04-04 18:49 by imissbao