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[交流] 祝圣诞节日快乐，散金300

题目：设 $0<\alpha<\beta$ ，试计算下列广义积分：

$I(\alpha,\beta)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{\alpha x}-e^{-\alpha x}}{e^{\beta x}-e^{-\beta x}}dx=?$

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maojun1998

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1楼 2016-12-25 04:45:29

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22815.2
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, thank 2016-12-25 19:26:26
Edstrayer: 数学EPI+1 2017-02-26 00:23:09

令 $f(x)=\frac{\sinh tx}{\sinh x}$ ，因为当0 < t < 1时 $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$ ，所以 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx=2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z)$ ，其中 $z_k=k\pi i$ 。因此 $Res_{z=k\pi i}e^{i\alpha z}f(z)=e^{i\alpha k\pi i}\frac{\sinh t(k\pi i)}{(\sinh z)'}=e^{-\alpha k\pi}\frac{\sinh t(k\pi i)}{\cosh k\pi i}=(-1)^kie^{-\alpha k\pi}\sin kt\pi$ ，令 $\alpha=0$ ，于是 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos\alpha xdx=\Re(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx)=\Re(2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z))=\Im(-2\pi\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{-\alpha k\pi}(\cos kt\pi+i\sin kt\pi))=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi-\alpha k\pi})=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi})=-2\pi\Im(\frac{1}{1+e^{it\pi}})=-2\pi\frac{-\sin t\pi}{2+2\cos t\pi}=\pi\frac{\sin t\pi}{1+\cos t\pi}$

令y=bx,t=a/b，则 $I=\frac{1}{b}\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{1}{2b}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{\pi\sin \frac{a}{b}\pi}{2b(1+\cos \frac{a}{b}\pi)}$