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题目：设 $0<\alpha<\beta$ ，试计算下列广义积分：

$I(\alpha,\beta)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{\alpha x}-e^{-\alpha x}}{e^{\beta x}-e^{-\beta x}}dx=?$

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alober

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令 $f(x)=\frac{\sinh tx}{\sinh x}$ ，因为当0 < t < 1时 $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$ ，所以 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx=2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z)$ ，其中 $z_k=k\pi i$ 。因此 $Res_{z=k\pi i}e^{i\alpha z}f(z)=e^{i\alpha k\pi i}\frac{\sinh t(k\pi i)}{(\sinh z)'}=e^{-\alpha k\pi}\frac{\sinh t(k\pi i)}{\cosh k\pi i}=(-1)^kie^{-\alpha k\pi}\sin kt\pi$ ，令 $\alpha=0$ ，于是 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos\alpha xdx=\Re(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx)=\Re(2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z))=\Im(-2\pi\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{-\alpha k\pi}(\cos kt\pi+i\sin kt\pi))=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi-\alpha k\pi})=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi})=-2\pi\Im(\frac{1}{1+e^{it\pi}})=-2\pi\frac{-\sin t\pi}{2+2\cos t\pi}=\pi\frac{\sin t\pi}{1+\cos t\pi}$

令y=bx,t=a/b，则 $I=\frac{1}{b}\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{1}{2b}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{\pi\sin \frac{a}{b}\pi}{2b(1+\cos \frac{a}{b}\pi)}$

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304楼2016-12-25 14:13:08

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bsese

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3楼2016-12-25 04:54:49

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lsh19901125

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2楼2016-12-25 04:51:59

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弹壳er

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5楼2016-12-25 05:12:25

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qiangzm

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6楼2016-12-25 05:36:34

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木单东月

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8楼2016-12-25 06:03:20

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zbli_li

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12楼2016-12-25 06:35:22

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石牛麻

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15楼2016-12-25 06:47:47

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562808766

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18楼2016-12-25 07:02:08

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风铃761214

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21楼2016-12-25 07:08:39

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我是咸鱼1

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24楼2016-12-25 07:15:40

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yanglijuan

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nizenan

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28楼2016-12-25 07:24:03

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橙紫123520

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30楼2016-12-25 07:28:56

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dong1104

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36楼2016-12-25 07:34:26

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xuwei6211

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37楼2016-12-25 07:36:16

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41楼2016-12-25 07:40:42

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46楼2016-12-25 07:55:24

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feixiaolin

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