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[交流] 祝圣诞节日快乐，散金300

题目：设 $0<\alpha<\beta$ ，试计算下列广义积分：

$I(\alpha,\beta)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{\alpha x}-e^{-\alpha x}}{e^{\beta x}-e^{-\beta x}}dx=?$

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maojun1998

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1楼 2016-12-25 04:45:29

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22815.2
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, thank 2016-12-25 19:26:26
Edstrayer: 数学EPI+1 2017-02-26 00:23:09

令 $f(x)=\frac{\sinh tx}{\sinh x}$ ，因为当0 < t < 1时 $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$ ，所以 $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx=2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z)$ ，其中 $z_k=k\pi i$ 。因此 $Res_{z=k\pi i}e^{i\alpha z}f(z)=e^{i\alpha k\pi i}\frac{\sinh t(k\pi i)}{(\sinh z)'}=e^{-\alpha k\pi}\frac{\sinh t(k\pi i)}{\cosh k\pi i}=(-1)^kie^{-\alpha k\pi}\sin kt\pi$ ，令 $\alpha=0$ ，于是 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos\alpha xdx=\Re(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\alpha x}f(x)dx)=\Re(2\pi i\sum_{k=1}^{\infty}Res_{z=z_k}e^{i\alpha z}f(z))=\Im(-2\pi\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{-\alpha k\pi}(\cos kt\pi+i\sin kt\pi))=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi-\alpha k\pi})=-2\pi\Im(\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ke^{ikt\pi})=-2\pi\Im(\frac{1}{1+e^{it\pi}})=-2\pi\frac{-\sin t\pi}{2+2\cos t\pi}=\pi\frac{\sin t\pi}{1+\cos t\pi}$

令y=bx,t=a/b，则 $I=\frac{1}{b}\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{1}{2b}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sinh ty}{\sinh y}dy=\frac{\pi\sin \frac{a}{b}\pi}{2b(1+\cos \frac{a}{b}\pi)}$

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304楼2016-12-25 14:13:08

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bsese

至尊木虫 (文坛精英)

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3楼2016-12-25 04:54:49

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lsh19901125

新虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
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可以

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2楼2016-12-25 04:51:59

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弹壳er

木虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 4111.2
帖子: 432
在线: 12.1小时
虫号: 3527187

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同乐

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5楼2016-12-25 05:12:25

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qiangzm

铁杆木虫 (著名写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 9627
帖子: 1993
在线: 56.2小时
虫号: 857247

★
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圣诞节快乐

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6楼2016-12-25 05:36:34

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木单东月

金虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 1016.3
帖子: 160
在线: 50小时
虫号: 5072892

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快乐

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8楼2016-12-25 06:03:20

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zbli_li

铁虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 140.4
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★
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厉害

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12楼2016-12-25 06:35:22

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石牛麻

银虫 (初入文坛)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 419.3
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在线: 7.1小时
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圣诞快乐

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15楼2016-12-25 06:47:47

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562808766

金虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 862.9
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18楼2016-12-25 07:02:08

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风铃761214

铜虫 (著名写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 8198.4
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都还给老师了

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21楼2016-12-25 07:08:39

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我是咸鱼1

新虫 (正式写手)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 5126.2
帖子: 602
在线: 7.4小时
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同乐

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24楼2016-12-25 07:15:40

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yanglijuan

新虫 (著名写手)

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25楼2016-12-25 07:17:02

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nizenan

木虫 (小有名气)

应助: 10 (幼儿园)
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加油

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28楼2016-12-25 07:24:03

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橙紫123520

新虫 (初入文坛)

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圣诞快乐

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29楼2016-12-25 07:24:21

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康定情歌

新虫 (著名写手)

应助: 0 (幼儿园)
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真虐心啊

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30楼2016-12-25 07:28:56

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dong1104

金虫 (职业作家)

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36楼2016-12-25 07:34:26

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xuwei6211

金虫 (小有名气)

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同乐同乐！

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37楼2016-12-25 07:36:16

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枫叶刀客

铁杆木虫 (小有名气)

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现在大学的东西都忘记了

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41楼2016-12-25 07:40:42

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1020317440

新虫 (正式写手)

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快乐快乐

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42楼2016-12-25 07:40:44

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TsingJoe

木虫 (正式写手)

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★
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46楼2016-12-25 07:55:24

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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

★
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47楼2016-12-25 07:56:57

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风中起武

新虫 (初入文坛)

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★
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厉害了

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49楼2016-12-25 07:58:43

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简单回复

zhz洪4楼

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胡小柚7楼

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xiaodatou9楼

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来咯哄孩子10楼

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hans123411楼

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chuyp19楼

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zhupiao072720楼

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fengguanhua22楼

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山野清风徐来26楼

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ZzzOoodddd27楼

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都是土豆土豆31楼

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小木木头嘎达32楼

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