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[交流] 祝圣诞节日快乐，散金300

题目：设 $0<\alpha<\beta$ ，试计算下列广义积分：

$I(\alpha,\beta)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{\alpha x}-e^{-\alpha x}}{e^{\beta x}-e^{-\beta x}}dx=?$

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maojun1998

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1楼2016-12-25 04:45:29

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+10, 好漂亮的证法，thank 2016-12-26 01:23:06

引用回帖:

309楼: Originally posted by hylpy at 2016-12-25 18:35:07
我没想出直接积分的办法....

不太清楚什么是直接积分，是不是只用实积分？这样用一些函数的性质也可以算。
因为 $\frac{1}{\sinh x}=2\sum_{k \in \mathbb{Z}}e^{-(2k+1)x}$ ，所以 $bI=2\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy$ ，令 $u = \sinh ty, v'=e^{-(2k+1)y}$ ，则 $u' = t\cosh ty, v = -\frac{1}{2k+1}e^{-(2k+1)y}$ ，所以 $\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{2k+1}\int_{0}^{+\infty}\cosh ty e^{-(2k+1)y}dy$ 。令 $u = \cosh ty$ ，则 $u' = t\sinh ty$ ，所以 $\int_{0}^{+\infty}\sinh ty e^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{2k+1}(\frac{1}{2k+1}+\frac{t}{2k+1}\int_{0}^{\infty}\sinh tye^{-(2k+1)y}dy)$ ，因此 $\int_{0}^{\infty}\sinh tye^{-(2k+1)y}dy = \frac{t}{(2k+1)^2-t^2}$ ，于是 $\frac{bI}{2} = \sum_{k \in \mathbb{Z^*}}\frac{t}{(2k+1)^2-t^2} = \frac{1}{2}\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}(\frac{1}{2k+1-t}-\frac{1}{2k+1+t}) = \frac{1}{4}\sum_{k \in \mathbb{Z^*}}(\frac{1}{k+\frac{1-t}{2}}-\frac{1}{k+\frac{1+t}{2}}) = \frac{1}{4}\lim_{s \to 1}(\zeta(s,\frac{1-t}{2})-\zeta(s,\frac{1+t}{2})) = \frac{1}{4}((-\psi(\frac{1-t}{2})+\frac{1}{s-1})-(-\psi(\frac{1+t}{2})+\frac{1}{s-1})) = \frac{1}{4}(\psi(1-\frac{1-t}{2})-\psi(\frac{1-t}{2})) = \frac{\pi\cot \pi\frac{1-t}{2}}{4} = \frac{\pi\tan\frac{t\pi}{2}}{4}$

于是 $I = \frac{\pi\tan\frac{t\pi}{2}}{2b} = \frac{\pi\tan\frac{a\pi}{2b}}{2b}$