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hylpy

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[求助] 求极限(参与应助,可获论坛活动抽奖券一张) 已有1人参与

计算下列极限:
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\sum_{n=-\infty }^{+\infty }\left ( \frac{1}{i\left ( n+\frac{1}{3} \right )} \right )^{1+\epsilon },i=\sqrt{-1}.$

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1楼 2016-11-15 21:40:58

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alober

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hylpy: 金币+20, ★★★很有帮助, 先付20币致谢。 2016-11-16 17:24:37
hylpy: 金币+30, ★★★★★最佳答案, 非常有启发,感谢,金币全给你 2016-11-16 18:45:42

$I(x)=\frac{1}{i^{1+x}}(\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n+\frac{1}{3}})^{1+x}+\sum_{n=-\infty}^{-1}(\frac{1}{n+\frac{1}{3}})^{1+x})=\frac{1}{i^{1+x}}(\zeta(1+x,\frac{1}{3})+\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{-1-n+\frac{1}{3}})^{1+x})=\frac{1}{i^{1+x}}(\zeta(1+x,\frac{1}{3})+(-1)^{1+x}\zeta(1+x,\frac{2}{3}))$
$\lim_{x \to 0}iI(x)=\lim_{x \to 1}\zeta(x,\frac{1}{3})+(-1)^x\zeta(x,\frac{2}{3})=\lim_{x \to 1}(\frac{1}{x-1}-\psi(\frac{1}{3}))+(-1)^x(\frac{1}{x-1}-\psi(\frac{2}{3}))=\lim_{x \to 1}(\frac{1}{x-1}-\psi(\frac{1}{3})+((-1-i\pi(x-1)+o((x-1)^2))\cdot\frac{1}{x-1}+\psi(\frac{2}{3})))=\psi(1-\frac{1}{3})-\psi(\frac{1}{3})-i\pi=(-\gamma+\int_{0}^{1}\frac{1-x^{-1/3}}{1-x}dx)-(-\frac{\pi}{2\sqrt{3}}-\frac{3\ln3}{2}-\gamma)-i\pi=(-\gamma+\frac{\sqrt{3}\pi}{6}-\frac{3\ln3}{2})-(-\frac{\sqrt{3}\pi}{6}-\frac{3\ln3}{2}-\gamma)-i\pi=(\frac{1}{\sqrt{3}}-i)\pi$
因此 $\lim_{x \to 0}I(x)=\frac{(\frac{1}{\sqrt{3}}-i)\pi}{i}=(-1-\frac{i}{\sqrt{3}})\pi$

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2楼2016-11-16 15:31:25

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hylpy

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2楼: Originally posted by alober at 2016-11-16 15:31:25
I(x)=\frac{1}{i^{1+x}}(\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n+\frac{1}{3}})^{1+x}+\sum_{n=-\infty}^{-1}(\frac{1}{n+\frac{1}{3}})^{1+x})=\frac{1}{i^{1+x}}(\zeta(1+x,\frac{1}{3})+\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{- ...

未及细读，先给你20币，等细读后再加币。

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3楼2016-11-16 17:23:31

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3楼: Originally posted by hylpy at 2016-11-16 17:23:31
未及细读，先给你20币，等细读后再加币。...

$\epsilon=0$

[list=2]
如果直接取0，结果似乎是， $\left[-\dfrac{1}{3} \left(i \sqrt{3} \pi \right)\right]$

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4楼2016-11-16 21:40:19

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4楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-11-16 21:40:19
取极限似乎没有什么意义，直接 \epsilon=0 有何不同？

如果直接取0，结果似乎是，\left
...

这个结果是错的

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5楼2016-11-16 22:12:32

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Mr__Right

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5楼: Originally posted by hylpy at 2016-11-16 22:12:32
这个结果是错的...

是指取极限不能直接 epsilon =0?

还是其它？

这个结果可是经过WolframAlpha 认证的：
https://www.wolframalpha.com/inp ... 2F(I+(k+%2B+1%2F3)),+%7Bk,+-n,+n%7D%5D,+n+-%3E+Infinity%5D

是不是我哪里看错了？

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6楼2016-11-16 22:42:22

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