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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] 一个定积分的计算

https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=9875395
题目:设a>b>0是正实数，试证：

$\int_0^{\pi}\ln(a+b\cos x)dx=\pi\ln\left(a+\sqrt{a^2-b^2}\right)-\pi\ln 2$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-07-26 02:29:22

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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Edstrayer: 金币+2 2016-07-26 15:48:16

https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=7140294

就当是炒冷饭吧，上面帖子中提到了一个引理，利用含参数积分的性质：

当 A>1时， $\int_0^{\pi}\ln(A-\cos{t})dt=\int_0^{\pi}\ln(A+\cos{t})dt=\pi\ln\frac{\sqrt{A^2-1}+A}{2}$

由此立得 @Edstrayer 版主大神的积分公式

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We_must_know. We_will_know.

3楼2016-07-26 12:33:39

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bluesine

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Edstrayer: 金币+3 2016-07-26 15:48:04

Edstrayer版版这个积分说实话好难算。。。长话短说，用留数定理算貌似是一个很好的方法。或许可以计算ln(a+bcos(x)+cos(2x))这种形式的积分

简述下计算步骤：
1、利用cos(x)的偶函数和周期性，转换成0到2pi上的积分，当然要有系数1/2
2. 用欧拉公式转换,
3. 用留数定理计算，恰好有3个零点，一个是0，还有一对是方程的根。。。。
4.最后相加结果取实部即可

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板凳要做十年冷文章不发一个字

2楼2016-07-26 09:25:02

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