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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求教两道有关敛散性的问题
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i维数

木虫 (正式写手)

[求助] 求教两道有关敛散性的问题 已有1人参与

如图。39的逆命题是成立的（因为carleman不等式），原命题是否成立？先谢谢各位了！

求教两道有关敛散性的问题
敛散性判断1.png


求教两道有关敛散性的问题-1
敛散性判断2.png
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1楼 2016-06-08 21:05:06
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

vect

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
i维数: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2016-06-09 19:02:31
38个收敛，用Dirichlet判别法：两个因子乘积的级数，一个因子单调趋向于0，另一个因子的级数一致有界（收敛显然有界），则原来的收敛
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13楼2016-06-09 08:40:58
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by i维数 at 2016-06-09 03:19:32
嗯，这些情况都很简单，关键是要考虑a_k为一般项级数或者原级数条件收敛的情况。...

@Edstrayer  @i维数

其实, 正项级数可以轻易推广到 一般项级数的.

李代桃僵大法, 当当当当(3)

设序列极限为A. 若A不等于0, 考虑 新序列 , 否则, 让, 并且让. 那么, S_n 趋于1, 从而当n>N时, S_n是正项序列,

于是 明显趋于0, 故新级数 是收敛的.
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We_must_know. We_will_know.
12楼2016-06-09 04:11:03
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
16楼: Originally posted by 哈哈笑泥 at 2016-06-09 17:19:33
39，错
an=1/n

你用错误的例子支持了一个正确的结论.

你的例子捎做修改就可以了.

把an拆成两项, , 只要你能证明 an 那个级数收敛, 那么 新级数就同样收敛. 但是 通项都不趋于0, 发散不商量.
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We_must_know. We_will_know.
21楼2016-06-10 00:24:12
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普通回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
Ex38 如果绝对收敛，则级数


也绝对收敛。这是因为当k充分大时有：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2016-06-09 02:52:38
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
如果是正项级数，则级数


也收敛。这是因为当k充分大时有：


至于一般项级数，可能有反例。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
3楼2016-06-09 03:03:41
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-06-09 02:52:38
Ex38 如果\sum\limits_{k=1}^{+\infty}a_k绝对收敛，则级数
\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{a_k}{k}
也绝对收敛。这是因为当k充分大时有：
\left|\frac{a_k}{k}\right|\leqslant\frac{1}{2}\left(\left|a_k\r ...

右边的a_k少了一个平方。
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4楼2016-06-09 03:16:53
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-06-09 03:03:41
如果\sum\limits_{k=1}^{+\infty}a_k是正项级数，则级数
\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{a_k}{k}
也收敛。这是因为当k充分大时有：
\frac{a_k}{k}\leqslant a_k
至于一般项级数，可能有反例。...

嗯，这些情况都很简单，关键是要考虑a_k为一般项级数或者原级数条件收敛的情况。
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5楼2016-06-09 03:19:32
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
4楼: Originally posted by i维数 at 2016-06-09 03:16:53
右边的a_k少了一个平方。...

因为对于绝对收敛级数，通项趋于零，故小于一，a_k^2小于a_k的绝对值
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
6楼2016-06-09 03:19:36
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-06-09 03:19:36
因为对于绝对收敛级数，通项趋于零，故小于一，a_k^2小于a_k的绝对值...

也是。。
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7楼2016-06-09 03:21:22
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i维数

木虫 (正式写手)
还有，修改一下。a_n应该为正项级数，否则很容易找到反例：a_1=0,a_2=a_3=...=1。
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8楼2016-06-09 03:23:14
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by i维数 at 2016-06-09 03:23:14
还有，修改一下。a_n应该为正项级数，否则很容易找到反例：a_1=0,a_2=a_3=...=1。

晕死。这里的修改是指39的。
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9楼2016-06-09 03:25:14
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
当时，
级数发散，
但是级数绝对收敛。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
10楼2016-06-09 03:32:09
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