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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 一道反常积分的习题
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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界
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10楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-04 12:51:33
楼主，你那个无穷级数的结果可以推广到更一般的形式，是否能证明？

\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{E_{2m}}{2\cdot(2m)!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2m+1},m\in\mathbb{N}

E_{2 ...

你这个推广对m=1就不成立，更别说一般的m了！
m=1时，你的级数等式为：


这里Euler数
而我的级数等式为


两者差一个符号。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
11楼2016-05-04 13:39:17
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Mr__Right

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11楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-04 13:39:17
你这个推广对m=1就不成立，更别说一般的m了！
m=1时，你的级数等式为：
\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{-1}{2\times 2!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3
这里Euler数E_{2}=-1
而 ...

我修正了。你再看看
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文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。
12楼2016-05-04 13:55:10
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Edstrayer

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12楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-04 13:55:10
我修正了。你再看看...

看了，恒等式对m=0，m=1直接验证可知成立，对于m>1如何验证冷在思考中
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
13楼2016-05-04 16:23:08
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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
10楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-04 12:51:33
楼主，你那个无穷级数的结果可以推广到更一般的形式，是否能证明？

\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{(-1)^m E_{2m}\pi^{2m+1}}{4^{m+1}(2m)!},m\in\mathbb{N}


E_{2m}是一个整数数列 ...

你这个推广是错的，
m=0,m=1可以验证是正确的
但是m=2时结果就不对
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
14楼2016-05-07 19:00:51
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Mr__Right

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14楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-07 19:00:51
你这个推广是错的，
m=0,m=1可以验证是正确的
但是m=2时结果就不对...



是你验证错了，左边和右边此时都是
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15楼2016-05-07 19:07:36
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xujj2112

银虫 (小有名气)
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还是不明白 化成了级数形式，该如何求那个级数的和

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做我自己的自己
16楼2016-05-07 19:13:39
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Edstrayer

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15楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-07 19:07:36


是你验证错了，左边和右边此时都是 \dfrac{5\pi^5}{1536}...

我算的是
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17楼2016-05-07 19:17:01
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maxman

木虫 (正式写手)
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用复变函数中的留数定理很容易求

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18楼2016-05-08 00:11:42
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Mr__Right

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17楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-07 19:17:01
我算的是\frac{9\pi^5}{1536}...

难点是左边无穷级数的计算；你可以找个Mathematica或者Maple验证下就知道自己是不是对
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19楼2016-05-08 09:06:54
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Edstrayer

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19楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-08 09:06:54
难点是左边无穷级数的计算；你可以找个Mathematica或者Maple验证下就知道自己是不是对...

我用理论计算，得到的是精确结果啊！你是怎么算的？
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
20楼2016-05-08 09:42:48
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