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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] 一道反常积分的习题

题目：试计算下面的反常积分：

$\int_0^{+\infty}\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}dx=?$

并由此推出下面的无穷级数恒等式：

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-05-02 01:10:49

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Mr__Right

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11楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-04 13:39:17
你这个推广对m=1就不成立，更别说一般的m了！
m=1时，你的级数等式为：
\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{-1}{2\times 2!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3
这里Euler数E_{2}=-1
而 ...

我修正了。你再看看

文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。

12楼2016-05-04 13:55:10

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xujj2112

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第一个反常积分 Ln x 如果没有平方的话等于0，有平方不知道怎么算了

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做我自己的自己

2楼2016-05-02 10:37:15

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Edstrayer: 金币+2 2016-05-02 16:59:20

引用回帖:

2楼: Originally posted by xujj2112 at 2016-05-02 10:37:15
第一个反常积分 Ln x 如果没有平方的话等于0，有平方不知道怎么算了

$\dfrac{\pi^3}{8}$

文章乃身外之物,要多考虑编辑、审稿人和读者的感受。

3楼2016-05-02 14:16:08

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xujj2112

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求告知解题步骤

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做我自己的自己

4楼2016-05-02 15:09:14

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