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Edstrayer

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[交流] 一道反常积分的习题

题目：试计算下面的反常积分：

$\int_0^{+\infty}\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}dx=?$

并由此推出下面的无穷级数恒等式：

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}$

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1楼2016-05-02 01:10:49

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Edstrayer: 金币+2 2016-05-02 16:59:20

引用回帖:

2楼: Originally posted by xujj2112 at 2016-05-02 10:37:15
第一个反常积分 Ln x 如果没有平方的话等于0，有平方不知道怎么算了

$\dfrac{\pi^3}{8}$

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3楼2016-05-02 14:16:08

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5楼: Originally posted by xujj2112 at 2016-05-02 15:09:30
求告知解题核心步骤
...

可以尝试先求解这个积分：
$\int_0^1x^n\ln(x)^2{\rm d}x$
变量代换 $t=\dfrac{1}{x}$ 再试试。

同时考察
$\dfrac{1}{1+x^2}$ 的级数形式。

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7楼2016-05-03 20:06:06

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6楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-03 12:47:58
求过程。。。我就只会用级数来计算那个积分，不过好像级数不好求。我记得欧拉对这个级数给出过一个不严格的求法

的确，难点在第二个问题。

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8楼2016-05-03 20:33:55

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楼主，你那个无穷级数的结果可以推广到更一般的形式，是否能证明？

$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2m+1}}=\frac{(-1)^m E_{2m}\pi^{2m+1}}{4^{m+1}(2m)!},m\in\mathbb{N}$

$E_{2m}$ 是一个整数数列（欧拉数列）中的项，详细定义参考维基：
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_number

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10楼2016-05-04 12:51:33

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11楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-04 13:39:17
你这个推广对m=1就不成立，更别说一般的m了！
m=1时，你的级数等式为：
\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=\frac{-1}{2\times 2!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3
这里Euler数E_{2}=-1
而 ...

我修正了。你再看看

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12楼2016-05-04 13:55:10

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