一道反常积分的习题 - 数学 - 考博考研 - 第3页小木虫论坛-学术科研互动平台

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21楼2016-05-08 13:23:38

Edstrayer

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21楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-08 13:23:38
上你的推导过程。

...

说说你猜想的依据吧？你是怎么想到猜想的分母的？

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

22楼2016-05-08 16:49:14

Mr__Right

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22楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-08 16:49:14
说说你猜想的依据吧？你是怎么想到猜想的分母的？...

你是不是推导出问题了？

拉马怒金只相信直觉 ...

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23楼2016-05-08 19:37:12

Edstrayer

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23楼: Originally posted by Mr__Right at 2016-05-08 19:37:12
你是不是推导出问题了？

拉马怒金只相信直觉 ......

直觉并不总是可靠的，还是逻辑严谨

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

24楼2016-05-08 19:44:45

月下的淡然

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25楼2016-05-10 18:52:08

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解答很精彩！但是有一点不明白，就是下面的④等于零是为什么？
④ $\int_{C_{\varepsilon}}\frac{(\ln z)^2}{1+z^2}dz=0$ 这是为什么？理由何在？

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

26楼2016-05-11 00:46:25

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引用回帖:

26楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-11 00:46:25
解答很精彩！但是有一点不明白，就是下面的④等于零是为什么？
④\int_{C_{\varepsilon}}\frac{(\ln z)^2}{1+z^2}dz=0这是为什么？理由何在？

这两个积分等于0有好多方法证明，上面的积分估值公式是一种，另外，更严谨的可以由大小圆弧引理直接得到。
小圆弧引理：若 $f(z)$ 沿圆弧 $C_r:z-a=re^{i\theta} (\theta_1\le\theta\le\theta_2)$ 上连续且 $\lim_{r\to0}[(z-a)f(z)]=\lambda$ (常数，包括0)在 $C_r$ 上一致成立，则 $\lim_{r\to0}\int_{C_r}f(z)dz=i(\theta_2-\theta_1)\lambda$ 。
大圆弧引理：若 $f(z)$ 沿圆弧 $C_R:z=Re^{i\theta} (\theta_1\le\theta\le\theta_2)$ 上连续且 $\lim_{R\to\infty}[zf(z)]=M$ 在 $C_r$ 上一致成立，则 $\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)dz=i(\theta_2-\theta_1)M$ 。
证明可见姚端正的书。《数学物理方法》第三版5.3节

27楼2016-05-11 13:58:08

Edstrayer

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https://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=10408598&fpage=1
m=2你是对的（我计算有一个小错误）
但是m=3差一个符号
用留数定理计算

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

28楼2016-06-16 06:16:26