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Edstrayer

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[交流] 一道反常积分的习题

题目：试计算下面的反常积分：

$\int_0^{+\infty}\frac{(\ln x)^2}{1+x^2}dx=?$

并由此推出下面的无穷级数恒等式：

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}$

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1楼 2016-05-02 01:10:49

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月下的淡然

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Edstrayer: 金币+3, thank 2016-05-11 15:58:37

引用回帖:

26楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-05-11 00:46:25
解答很精彩！但是有一点不明白，就是下面的④等于零是为什么？
④\int_{C_{\varepsilon}}\frac{(\ln z)^2}{1+z^2}dz=0这是为什么？理由何在？

这两个积分等于0有好多方法证明，上面的积分估值公式是一种，另外，更严谨的可以由大小圆弧引理直接得到。
小圆弧引理：若 $f(z)$ 沿圆弧 $C_r:z-a=re^{i\theta} (\theta_1\le\theta\le\theta_2)$ 上连续且 $\lim_{r\to0}[(z-a)f(z)]=\lambda$ (常数，包括0)在 $C_r$ 上一致成立，则 $\lim_{r\to0}\int_{C_r}f(z)dz=i(\theta_2-\theta_1)\lambda$ 。
大圆弧引理：若 $f(z)$ 沿圆弧 $C_R:z=Re^{i\theta} (\theta_1\le\theta\le\theta_2)$ 上连续且 $\lim_{R\to\infty}[zf(z)]=M$ 在 $C_r$ 上一致成立，则 $\lim_{R\to\infty}\int_{C_R}f(z)dz=i(\theta_2-\theta_1)M$ 。
证明可见姚端正的书。《数学物理方法》第三版5.3节