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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 原子、分子&光学 » 三维薛定谔方程不分离变量的求解方法
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茶壶bxy

银虫 (正式写手)

[求助] 三维薛定谔方程不分离变量的求解方法 已有1人参与

如下形式的三维薛定谔方程：
三维薛定谔方程不分离变量的求解方法

解析解算三维薛定谔方程通常需要进行分离变量，即令：

三维薛定谔方程不分离变量的求解方法-1

但这要求势函数V为球对称函数，因此请问，有没有一种求解方法可以不通过分离变量来求解，能够计算V不是球对称函数情况下波函数的解？
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加油
1楼 2016-04-20 20:32:38
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16178337

木虫 (著名写手)
没有

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2楼2016-04-20 21:10:40
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ra2ghgzh

木虫 (正式写手)

学痴

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
茶壶bxy: 金币+50, ★★★★★最佳答案, 十分感谢！ 2016-04-21 14:18:07
曾谨言版《量子力学》第四版 第六章中心力场 6.1中心力场中粒子运动的一般性质 第一段
“最重要的几种中心力场—Coulomb场或万有引力场，各向同性谐振子场以及无限深球方势阱，是量子力学中能精确求解的少数问题中的几个”

如果不求解析解的话可以使用微扰、密度泛函等方法
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我永远当不了老板
3楼2016-04-20 21:42:48
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guobenshuai


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4楼2016-04-20 22:14:05
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东方天遥

至尊木虫 (著名写手)
并没有球对称要求的，啥情况都能分解

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天行健，君子以自强不息
5楼2016-04-23 01:16:46
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newshashou

银虫 (著名写手)
把V从单个值，改为张量即可，用矩阵求解会方便点

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奇迹是用来创造的
6楼2016-04-23 05:54:49
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舟舟周

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 东方天遥 at 2016-04-23 01:16:46
并没有球对称要求的，啥情况都能分解

请教一下，那如何进行分解呢？势不对称，那么波函数解的各个变量之间就不是独立的关系了？

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7楼2016-04-23 08:39:26
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东方天遥

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 舟舟周 at 2016-04-22 18:39:26
请教一下，那如何进行分解呢？势不对称，那么波函数解的各个变量之间就不是独立的关系了？
...

你那么分也没问题，可能麻烦点而已

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天行健，君子以自强不息
8楼2016-04-23 08:52:03
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舟舟周

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 东方天遥 at 2016-04-23 08:52:03
你那么分也没问题，可能麻烦点而已
...

请问，您能给出分离的形式吗，就是将什么样的解函数带入到薛定谔方程中，薛定谔方程里面的势怎么表示呢？

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9楼2016-04-23 10:26:25
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月下的淡然

铜虫 (小有名气)
分离变量法是求解常见偏微分方程的最主要方法，好多有界问题都能用分离变量法求解，
一般来说，只要系统具有某种对称性，用分离变量求解就非常简单，例如具有球对称的系统（氢原子，有心力场）可用球坐标分解；具有柱对称的系统（纳米管，载流导线）可用柱坐标分解等等。
另外，如果好多含时方程也可以分解为时间和空间两部分，例如含时的薛定谔方程就可以分解为时间因子和定态薛定谔方程。
说白了，只要预期中的解能够将各个分量分开，写成没有相互耦合的各个分量函数相乘的形式，都能用分离变量法。要做到这一点，就要选择合适的坐标系，上面所说的球坐标和柱坐标（或者其他自己定义的坐标系）；然后最难的一点就是将方程和边界条件分离变量，这需要知道特定坐标系中微分算子的形式（球坐标和柱坐标的网上都有）；最后就是一般的程序：求本征方程，讨论结果。
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10楼2016-04-25 17:04:20
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