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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 空间任意椭球被一平面切割，其截面，一定是椭圆，圆或者点吗？【附个人解答】
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liukaijack

银虫 (小有名气)

[交流] 空间任意椭球被一平面切割，其截面，一定是椭圆，圆或者点吗？【附个人解答】

对于空间任意一个椭球，任意平面切割形成的截面，一定是个椭圆，圆或者点吗？

我的解答如下：

假设椭球的空间方程为：E(x,y,z)=Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0;此方程每一项的次数为：2次，1次或者0次（常数），最高次为2次；
假设任意平面方程为：P(x,y,z)=Kx+Ly+Mz+N=0;

则平面相交于椭球的交线方程为：
L(x,y,z)=E(x,y,z)-P(x,y,z); 根据椭球空间方程每一项的阶数为：2次，1次或者0次（常数），最高次为2次这一个条件，将交线方程L(x,y,z)化为二次型的标准型：L1(x1,y1,z1)=k1*x1^2+k2*y1^2+k3*z1^2+P=0这种形式（此方程要能画出图形，必须使得P为负数）。

根据所得到的交线方程L1(x,y,z)为二次型方程，就可以判断出其为椭圆（k1, k2, k3两两均不相等），圆（k1, k2, k3两两均相等）。

但是，有个疑问，根据转化后的二次型的标准型方程L1(x1,y1,z1)=k1*x1^2+k2*y1^2+k3*z1^2+P=0来看，这个图形在空间中应该为一个椭球或者球，而不是椭圆或者圆，这个该怎么解释呢？

谢谢。

[ Last edited by liukaijack on 2016-3-27 at 09:35 ]
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生活要以快乐为基准~
1楼2016-03-27 08:37:37
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cqwhch
★
liukaijack(金币+1): 谢谢参与
2楼2016-03-27 08:49:17
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逗比的威威
★
liukaijack(金币+1): 谢谢参与
，

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3楼2016-03-27 09:07:24
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0404600213

金虫 (正式写手)
★
liukaijack(金币+1): 谢谢参与
因为这条曲线方程还要加上那个平面的方程

而且你那个所谓的一般的椭球面方程并不能表示那些轴不于坐标轴平行的椭球面

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4楼2016-03-27 09:10:40
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liukaijack

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-03-27 09:10:40
因为这条曲线方程还要加上那个平面的方程

而且你那个所谓的一般的椭球面方程并不能表示那些轴不于坐标轴平行的椭球面

什么意思，请详解。
1、这个曲线是平面和椭球面的交线。
2、为什么不能表示？这是最一般的二次曲面方程，应该可以表示不与坐标轴平行的托球面
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生活要以快乐为基准~
5楼2016-03-27 09:17:44
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14101317

铁虫 (初入文坛)
★
liukaijack(金币+1): 谢谢参与
看怎么切吧，可能是圆，可能是椭圆，应该不可能是点

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成功源于坚持
6楼2016-03-27 09:18:02
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liukaijack

银虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 14101317 at 2016-03-27 09:18:02
看怎么切吧，可能是圆，可能是椭圆，应该不可能是点

能对我的推到过程发表看法吗?
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生活要以快乐为基准~
7楼2016-03-27 09:20:07
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0404600213

金虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
liukaijack: 金币+3 2016-03-27 09:42:23
引用回帖:
4楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-03-27 09:10:40
因为这条曲线方程还要加上那个平面的方程

而且你那个所谓的一般的椭球面方程并不能表示那些轴不于坐标轴平行的椭球面

因为你的方程化简之后是(x-x0)^2/a^2+……
也就是每个括号里只有一个未知数，这种只能表示一个标准椭球面平移之后的曲面
实际上你用这个去一个任意截面相截确实也能表示出椭球面和平面的所有位置关系，但是一般来说截出?淼耐衷膊辉谒矫嫔喜缓美斫狻�
容易理解的办法是，利用椭球面的几何定义写出椭球面的一般方程，然后都用xoy平面去截

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8楼2016-03-27 09:29:40
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liukaijack

银虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-03-27 09:29:40
因为你的方程化简之后是(x-x0)^2/a^2+……
也就是每个括号里只有一个未知数，这种只能表示一个标准椭球面平移之后的曲面
实际上你用这个去一个任意截面相截确实也能表示出椭球面和平面的所有位置关系，但是一般来说 ...

谢谢提醒，我的一般椭球面方程写错了。应该为E(x,y,z)=Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0。

能重新看一下我的题目吗？谢谢
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生活要以快乐为基准~
9楼2016-03-27 09:37:54
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0404600213

金虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
9楼: Originally posted by liukaijack at 2016-03-27 09:37:54
谢谢提醒，我的一般椭球面方程写错了。应该为E(x,y,z)=Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0。

能重新看一下我的题目吗？谢谢...

只需要考虑和xoy平面的交线就可以了，即是令z=0

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10楼2016-03-27 09:56:44
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