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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 复变中关于根号和对数的关系
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lixy1217

木虫 (著名写手)

[求助] 复变中关于根号和对数的关系 已有2人参与

现在要问  Ln z^(1/2)  是否等于 1/2 Ln z
按书中的意思似乎是想说这两个式子不相等，可是我的证明并没有什么错误，请高手看一下到底有什么问题

复变中关于根号和对数的关系
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
1楼 2016-03-23 12:21:30
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jenseng

至尊木虫 (正式写手)
最后的倒数第二等号有问题，

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2楼2016-03-23 14:57:07
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by jenseng at 2016-03-23 14:57:07
最后的倒数第二等号有问题，

如果有问题的话，应当也是这个等号，但我实在看不出有什么错误，所以宁肯相信书上的结论是错误的
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
3楼2016-03-23 15:16:19
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jenseng

至尊木虫 (正式写手)
因为左边有两组，你中间等号右边只是其中的一组，

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4楼2016-03-23 15:22:57
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by jenseng at 2016-03-23 15:22:57
因为左边有两组，你中间等号右边只是其中的一组，

左边两组，一组是 2k*i*pi 另一组是 (2k+1)*i*pi，合在一起不就是k*i*pi 了吗？
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
5楼2016-03-23 15:34:06
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laosam280

禁虫 (正式写手)
感谢参与，应助指数 +1
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6楼2016-03-24 14:16:45
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watesoyan

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
其实这个问题很简单，因为复对数函数是多值函数 所以Ln(√2)和Ln(z)/2之间可以相差2k π i，换句话说，只要给定Ln函数是在某个确定的分支，则楼猪的等式才在定义域上恒成立。

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7楼2016-03-24 16:15:27
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by laosam280 at 2016-03-24 14:16:45
这个等式不成立的原因就是对数函数多值：
假设 z = r*e^ix
Ln (z^1/2) = Ln (r^1/2 * e^{i*x/2}) = Ln (r^1/2 * e^{i*(x/2+2k*pi)}) = ln r^1/2 + i*(x/2+2k*pi)
而
0.5*Ln z = 1/2* ln r + 1/2*i*(x+2k*pi)
可 ...

你这里把z^1/2的多值性给忽略了
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
8楼2017-03-26 11:30:29
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