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椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式 已有2人参与
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如下图所示，当椭圆投影在圆柱侧表面时会形成一个新的椭圆，请问这个新的椭圆的计算公式是什么？ 在新的椭圆中，其中一个半径和原来的半径是一样的（短的那个），别外一个半径一段圆弧，我尝试计算了这段圆弧的弧长，然后用弧长当半径来计算新椭圆的面积，但是结果好像不太对，有很大的误差。 所以请教下各位应该怎么计算。 |
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peterflyer 
木虫之王 (文学泰斗)
peterflyer
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【答案】应助回帖
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可先以椭圆平面为xoy平面，椭圆心为坐标系原点建立右手系的xoyz直角坐标系。再分别建立椭圆和圆柱面的方程。然后在椭圆区域里对圆柱面求曲面面积的积分即可。 比如设椭圆为D：x^2/a^2+y^2/b^2=1 取第一象限的1/4部分进行研究: 积分区域D为: y=b*sqrt[1-x^2/a^2] ，0≤x≤a, 0≤y≤b 。 设圆柱面为：x^2+(z-c)^2=R^2 z=c+sqrt(R^2-x^2) Pz/Px=-x/sqrt(R^2-x^2) Pz/Py=0 投影面积： S=4*Double Integral{[1+(Pz/Px)^2+(Pz/Py)^2]*dx*dy , (x,y)∈D} =4*Double Integral{R^2/(R^2-x^2)*dx*dy , (x,y)∈D} =4*Integral{dx*Integral{R/(R^2-x^2)*dy, 0,b*sqrt[1-x^2/a^2]}, 0, a} =4*b*R^2*Integral{sqrt(1-x^2/a^2)/(R^2-x^2)*dx, 0, a} =4*a*b*R^2*Integral{(Cosθ)^2/[R^2-a^2*(Sinθ)^2]*dθ, 0,π/2} 再令u=tg(θ/2),则积分即可化为有理分式的积分，具体的一元积分就留给楼主了。 |
18楼2016-02-22 09:20:13
2楼2016-02-17 14:07:02
3楼2016-02-17 14:58:30
赵梦92
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【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
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那个不是简单平面椭圆，而是一个曲面。我用微元法，把原椭圆分割无数矩形条，然后以矩形条在圆柱面上的投影为微元，∫f(x)*cos(arctan(g'(x)))dx，f(x)为椭圆曲线，g(x)为圆的函数。 发自小木虫Android客户端 |
4楼2016-02-17 19:02:03