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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数理科学综合 » 椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式
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luckygyy

银虫 (小有名气)

[求助] 椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式 已有2人参与

如下图所示，当椭圆投影在圆柱侧表面时会形成一个新的椭圆，请问这个新的椭圆的计算公式是什么？
椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式

在新的椭圆中，其中一个半径和原来的半径是一样的（短的那个），别外一个半径一段圆弧，我尝试计算了这段圆弧的弧长，然后用弧长当半径来计算新椭圆的面积，但是结果好像不太对，有很大的误差。 所以请教下各位应该怎么计算。
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1楼 2016-02-17 13:58:28
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小奇点

新虫 (初入文坛)
长方形减个半椭圆试试。随便说的

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2楼2016-02-17 14:07:02
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luckygyy

银虫 (小有名气)
感觉好像应该得就积分来解决。但是整理不起来思路。好久没有考虑过这种问题了
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3楼2016-02-17 14:58:30
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赵梦92

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
那个不是简单平面椭圆，而是一个曲面。我用微元法，把原椭圆分割无数矩形条，然后以矩形条在圆柱面上的投影为微元，∫f(x)*cos(arctan(g'(x)))dx，f(x)为椭圆曲线，g(x)为圆的函数。

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4楼2016-02-17 19:02:03
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luckygyy

银虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 赵梦92 at 2016-02-17 19:02:03
那个不是简单平面椭圆，而是一个曲面。我用微元法，把原椭圆分割无数矩形条，然后以矩形条在圆柱面上的投影为微元，∫f(x)*cos(arctan(g'(x)))dx，f(x)为椭圆曲线，g(x)为圆的函数。
...

你好谢谢你的答复。但是关于你提到的f(x)和g(x)的编写不太明白。
我已经编写了相关变量的代码，能帮我看看怎么才能得到最终结果值吗？
Sd是我之前提到的近似结果。
谢谢~

Rw=20;          %圆柱半径
Lw=20;          %圆柱长度
Sw=2*pi*Rw*Lw;  %圆柱面积
%原椭圆
Lea=6;          %椭圆短边
Leb=12;         %椭圆长边
Se=pi*Lea*Leb   %椭圆面积
%扇形区域弧长
Ssl=asin(Leb/Rw)*Rw
%投影椭圆
Lda=Lea;          %椭圆短边
Ldb=Ssl;         %椭圆长边
Sd=pi*Lda*Ldb   %投影椭圆面积
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5楼2016-02-17 19:37:14
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赵梦92

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

貌似我们想复杂了，如果能证明圆柱上的投影被侧面展开后仍为椭圆，那么，该椭圆面积计算很简单，S=a'*b*π
椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式-1



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6楼2016-02-17 21:57:06
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赵梦92

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

我算的结果是59.52

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7楼2016-02-17 23:14:37
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luckygyy

银虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 赵梦92 at 2016-02-17 21:57:06
貌似我们想复杂了，如果能证明圆柱上的投影被侧面展开后仍为椭圆，那么，该椭圆面积计算很简单，S=a'*b*π

...

你好。谢谢你的回复
你说的这个好像和我上面的代码是一样的原理。
这个方法的计算结果和cad软件的结果相比,误差有点大。。。我感觉应该是公式的问题。所以才想求各精确点的方法

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8楼2016-02-17 23:15:17
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luckygyy

银虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 赵梦92 at 2016-02-17 23:14:37
我算的结果是59.52

现在回家了。明天和你对对答案。谢谢了。

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9楼2016-02-17 23:16:37
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luckygyy

银虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 赵梦92 at 2016-02-17 23:14:37
我算的结果是59.52

Matlab用公式计算的近似结果为57.433。
Cad的结果是57.2

看上去误差很小。但是全部尺寸放大10倍的话。
结果会变成5743和5720。
所以说这个目前的公式有点问题

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10楼2016-02-18 09:08:49
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