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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数理科学综合 » 椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式
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luckygyy

银虫 (小有名气)
已经整理出来x,y,z的函数了。
假设t=0到90度
R为圆柱半径， a和b分别为椭圆的半径。

x=R*cos(t)
y=R*sin(t)
z=sqrt((1-(x^2/b^2))*a^2)
请问怎么用定积分求出面积公式啊？
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11楼2016-02-18 14:17:20
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赵梦92

木虫 (著名写手)
数值计算，取Δt=0.00000001，步长h=r*Δt，积分区间(pi*r/2—arctan(b/r),pi*r/2)，最后阴影面积S=Σz(i)*h，精度取决于Δt值。

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12楼2016-02-21 23:53:07
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赵梦92

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

数值计算，取Δt=0.00000001，步长h=r*Δt，积分区间(pi*r/2—arctan(b/r),pi*r/2)，最后则有面积S=Σz(i)*h，精度取决于Δt值。arctan的计算也有可能影响结果。

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13楼2016-02-21 23:55:52
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赵梦92

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

啊，不好意思，那个应该是arcsin

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14楼2016-02-22 00:01:41
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赵梦92

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

解题如图，
椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式


椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式-1



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15楼2016-02-22 01:18:35
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赵梦92

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

maple结果
椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式-2



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16楼2016-02-22 01:21:29
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赵梦92

木虫 (著名写手)
matlab计算值
椭圆在圆柱侧表面的投影面积公式-3



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17楼2016-02-22 01:32:57
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

可先以椭圆平面为xoy平面，椭圆心为坐标系原点建立右手系的xoyz直角坐标系。再分别建立椭圆和圆柱面的方程。然后在椭圆区域里对圆柱面求曲面面积的积分即可。
比如设椭圆为D：x^2/a^2+y^2/b^2=1
      取第一象限的1/4部分进行研究:
  积分区域D为:  y=b*sqrt[1-x^2/a^2]  ，0≤x≤a, 0≤y≤b  。
设圆柱面为：x^2+(z-c)^2=R^2
                    z=c+sqrt(R^2-x^2)
                   Pz/Px=-x/sqrt(R^2-x^2)
                    Pz/Py=0
投影面积：
S=4*Double Integral{[1+(Pz/Px)^2+(Pz/Py)^2]*dx*dy , (x,y)∈D}
  =4*Double Integral{R^2/(R^2-x^2)*dx*dy , (x,y)∈D}
  =4*Integral{dx*Integral{R/(R^2-x^2)*dy, 0,b*sqrt[1-x^2/a^2]}, 0, a}
  =4*b*R^2*Integral{sqrt(1-x^2/a^2)/(R^2-x^2)*dx, 0, a}
   =4*a*b*R^2*Integral{(Cosθ)^2/[R^2-a^2*(Sinθ)^2]*dθ, 0,π/2}
   再令u=tg(θ/2),则积分即可化为有理分式的积分，具体的一元积分就留给楼主了。
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18楼2016-02-22 09:20:13
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