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i维数

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[求助] 请问这两个极限怎么算？

谢谢各位了！

极限1.jpg

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@Edstrayer @szuwusongbin

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1楼 2016-02-06 02:17:35

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木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金币+10, 数学EPI+1, 很好很细致的解答 2016-04-01 10:28:43

第二题已解决，见图

极限.png

组合恒等式1.png

组合恒等式2.png

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17楼2016-03-30 01:30:40

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hank612

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如图所示，求和可以套用Euler-Maclaurin公式， Mathematica 给出了许多项，其中与n的幂次有关的项可以直接给出，只是常数项我算不出来 $\zeta(-1/2)$ 或者你给出的 $-\frac{\zeta(3/2)}{4\pi}$ .

楼主可以单独开一个帖子，证明关于zeta函数特殊值用Bernoulli 数的级数表示的。

series square root expansion at infinity.png

Euler Maclaurin summation formula.png

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We_must_know. We_will_know.

18楼2016-05-18 09:40:24

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hank612

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18楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-18 09:40:24
如图所示，求和可以套用Euler-Maclaurin公式， Mathematica 给出了许多项，其中与n的幂次有关的项可以直接给出，只是常数项我算不出来\zeta(-1/2)或者你给出的-\frac{\zeta(3/2)}{4\pi}.

楼主可以单独开一个帖 ...

网上搜了一下，发现最自然的方法来自 Riemann zeta函数的 asymptotic expansion, 见图
直接取s=-1/2就是了。

另外， $\zeta(-\frac{1}{2})=-\frac{\zeta(\frac{3}{2})}{4\pi}$ 直接由函数方程看出
$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin{\frac{s\pi}{2}}\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$ . (同样取s=-1/2就是了)

至于渐进式和函数方程的证明，那是铺天盖地的多文献，就不罗嗦了。

Emuch031.png

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We_must_know. We_will_know.

19楼2016-05-18 12:15:43

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szuwusongbin

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第一个算积分吧

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2楼2016-02-06 05:39:47

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2楼: Originally posted by szuwusongbin at 2016-02-06 05:39:47
第一个算积分吧

可否详细说说，谢了

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3楼2016-02-06 13:32:35

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怎么感觉有点数学竞赛的味道

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4楼2016-02-06 13:45:02

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我擦zeta函数都出来了啊

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5楼2016-02-06 13:45:58

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5楼: Originally posted by szuwusongbin at 2016-02-06 13:45:58
我擦zeta函数都出来了啊

请问用积分怎么算呢？

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6楼2016-02-06 13:59:34

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我试试不一定算得出来。

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7楼2016-02-06 14:14:03

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7楼: Originally posted by szuwusongbin at 2016-02-06 14:14:03
我试试不一定算得出来。

好的，谢谢你

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8楼2016-02-06 14:16:54

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哇很难啊没算出来

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9楼2016-02-06 17:26:05

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9楼: Originally posted by szuwusongbin at 2016-02-06 17:26:05
哇很难啊没算出来

没事，麻烦你了

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10楼2016-02-06 17:32:46

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