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木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 941.9小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

[求助] 请问这两个极限怎么算？

谢谢各位了！

极限1.jpg

极限2.jpg

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@Edstrayer @szuwusongbin

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1楼 2016-02-06 02:17:35

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
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虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

引用回帖:

18楼: Originally posted by hank612 at 2016-05-18 09:40:24
如图所示，求和可以套用Euler-Maclaurin公式， Mathematica 给出了许多项，其中与n的幂次有关的项可以直接给出，只是常数项我算不出来\zeta(-1/2)或者你给出的-\frac{\zeta(3/2)}{4\pi}.

楼主可以单独开一个帖 ...

网上搜了一下，发现最自然的方法来自 Riemann zeta函数的 asymptotic expansion, 见图
直接取s=-1/2就是了。

另外， $\zeta(-\frac{1}{2})=-\frac{\zeta(\frac{3}{2})}{4\pi}$ 直接由函数方程看出
$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin{\frac{s\pi}{2}}\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$ . (同样取s=-1/2就是了)

至于渐进式和函数方程的证明，那是铺天盖地的多文献，就不罗嗦了。