版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

>基金申请 (6019)
>论坛更新日志 (4616)
>休闲灌水 (1367)
>虫友互识 (291)
>论文投稿 (272)
>导师招生 (268)
>文献求助 (228)
>有奖起名 (165)
>硕博家园 (106)
>考博 (95)
>健康生活 (88)
>留学DIY (38)
>考研 (33)
>绿色求助(高悬赏) (32)
>公派出国 (29)
>博后之家 (28)

返回列表

【悬赏金币】回答本帖问题，作者Edstrayer将赠送您 10 个金币

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

[求助] 一个无穷级数的求和？请大神指点

如何计算下面的无穷级数的和？

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{\ln n}{n}=?$

回复此楼

» 收录本帖的淘帖专辑推荐

大学数学习题汇刊专辑

» 猜你喜欢

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-01-04 18:32:04

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

版主大神，你确定下图中那复杂的一塌糊涂的表达式是你想要的？

Emuch030.png

赞一下(1人)

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

2楼2016-01-12 14:21:48

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

我得到的答案是：

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{\ln n}{n}=\left(\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{4}\right)\gamma+\frac{1}{4}\ln^22-\frac{\pi}{4}\ln\left(\frac{4\pi^3}{\Gamma(\frac{1}{4})^4}\right)$

赞一下(2人)

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-01-13 04:58:24

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

引用回帖:

3楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-01-13 04:58:24
我得到的答案是：
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{\ln n}{n}=\left(\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{4}\right)\gamma+\frac{1}{4}\ln^22-\frac{\pi}{4}\ln\left(\frac{4\pi^3}{\Gamma(\fra ...

版主大神, 如果从
$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}$ 以及
$\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n\frac{\ln{n}}{n}=(\gamma-\frac{\ln{2}}{2})\ln{2}$ 出发, 加加减减后可以得到你想要的结果.

哦, 还有显然的 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=\ln{2}$ 也要用到. 祝楼主学运昌隆.

赞一下(1人)

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

4楼2016-01-14 07:44:46

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

引用回帖:

4楼: Originally posted by hank612 at 2016-01-14 07:44:46
版主大神, 如果从
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1} 以及
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n\frac{\ln{n}}{n}=(\gamma-\frac{\ln{2}}{2})\ln{2} 出发, 加加减减后可以得到你想要的结果.

哦, 还 ...

谢谢@hank612大神，我也是这样做的，请问：

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}=\left(\gamma-\frac{1}{2}\ln 2\right)\ln 2$

又如何证明呢？

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

5楼2016-01-14 16:24:54

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

引用回帖:

5楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-01-14 16:24:54
谢谢@hank612大神，我也是这样做的，请问：
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}=\left(\gamma-\frac{1}{2}\ln 2\right)\ln 2
又如何证明呢？...

https://math.stackexchange.com/q ... 1n-frac-ln-nn/41151

版主大神, 这是经典结果啊. 它的一般性结果请看下图.

Emuch030.png

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

6楼2016-01-15 03:19:27

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

引用回帖:

6楼: Originally posted by hank612 at 2016-01-15 03:19:27
https://math.stackexchange.com/questions/40998/the-sum-of-1n-frac-ln-nn/41151

版主大神, 这是经典结果啊. 它的一般性结果请看下图.

Emuch030.png
...

谢啦，@hank612大神，惭愧，真的孤陋寡闻，连这么经典的结果都没见过。

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

7楼2016-01-15 04:40:35

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

相关版块跳转我要订阅楼主 Edstrayer 的主题更新

返回列表

不应助 确定回帖应助 (注意：应助才可能被奖励，但不允许灌水，必须填写15个字符以上)

普通表情龙兔虎猫

最具人气热帖推荐 [查看全部]		作者	回/看	最后发表

[基金申请] 投票: 有多少人是今天查系统知道结果的？ +12	爱看书的可乐 2026-08-26	14/700	2026-08-26 13:50 by coolysnow
[基金申请] 科研孤儿太难了 +21	我4大白菜 2026-08-20	22/1100	2026-08-26 11:29 by nlgza
[基金申请] 国合里面能看到了 +7	一怀馨秋 2026-08-26	7/350	2026-08-26 11:23 by zhaosm1982
[基金申请] 系统进不去 +4	yanglien 2026-08-26	5/250	2026-08-26 11:10 by wenfengw83
[基金申请] 2026年的国家社科基金项目通讯评审的新规则与新动向、新挑战 +6	process2012 2026-08-23	8/400	2026-08-26 11:03 by zjlp
[基金申请] 项目信息和经费信息在系统里都可以看到了 +6	wittyboy 2026-08-26	14/700	2026-08-26 10:55 by wittyboy
[基金申请] 国合可查了 +3	paperzjh 2026-08-26	3/150	2026-08-26 10:41 by LemmonTr
[职场人生] 学生撞见辅导员送外卖，第二天全班都沉默了 +3	鲸鱼融金_浙江_� 2026-08-22	3/150	2026-08-26 09:01 by zzuzxg
[基金申请] 2026年8月25日国自然放榜前突然收到列入评审专家邮件，有关系吗？ +24	木水思豆 2026-08-25	27/1350	2026-08-26 08:26 by yanchen918
[基金申请] 范进中举一文的中心思想 +8	炎黄贵胄 2026-08-22	9/450	2026-08-26 07:47 by WASM
[基金申请] 在坚冰还盖着北海的时候，我看到了怒放的梅花。 (金币+10) +6	ziyangfang 2026-08-25	9/450	2026-08-25 20:26 by huagongfeihu
[基金申请] 明天应该可查了！？ +6	chengyan1220 2026-08-23	6/300	2026-08-25 19:45 by zfd97
[基金申请] 今日不放榜？网传国自然预计 8 月 27 日可查结果 +17	医学老男孩 2026-08-20	22/1100	2026-08-25 15:36 by 医学老男孩
[基金申请] 如果此刻你正在为国基感到焦虑，不妨来听听这首《基金之外》 +8	scalable 2026-08-24	8/400	2026-08-25 12:52 by jnhyjjm
[教师之家] 导师吐槽：我怎么摊上了这么个极品研究生！ +3	苏东坡二世 2026-08-23	3/150	2026-08-25 10:35 by shisan1313
[基金申请] 我面上完蛋了 +13	且听虎啸 2026-08-20	14/700	2026-08-25 09:10 by mrkang
[基金申请] 让我中一个面上吧！ +13	大萍1987 2026-08-20	16/800	2026-08-24 10:23 by 太傻了
[基金申请] 时间戳今天，20号变了 +5	archvillain 2026-08-20	5/250	2026-08-22 06:12 by hui_daxiao
[基金申请] 时间戳又变了 +13	wuchongjun 2026-08-20	19/950	2026-08-21 17:21 by 紫杉醇
[基金申请] 应该是下周三26日公布了吧？ +4	哈哈蛤？ 2026-08-21	4/200	2026-08-21 10:58 by Vivilian