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Edstrayer

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[求助] 一个无穷级数的求和？请大神指点

如何计算下面的无穷级数的和？

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{\ln n}{n}=?$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2016-01-04 18:32:04

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hank612

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版主大神，你确定下图中那复杂的一塌糊涂的表达式是你想要的？

Emuch030.png

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We_must_know. We_will_know.

2楼2016-01-12 14:21:48

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Edstrayer

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我得到的答案是：

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{\ln n}{n}=\left(\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{4}\right)\gamma+\frac{1}{4}\ln^22-\frac{\pi}{4}\ln\left(\frac{4\pi^3}{\Gamma(\frac{1}{4})^4}\right)$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-01-13 04:58:24

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hank612

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3楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-01-13 04:58:24
我得到的答案是：
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{\ln n}{n}=\left(\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{4}\right)\gamma+\frac{1}{4}\ln^22-\frac{\pi}{4}\ln\left(\frac{4\pi^3}{\Gamma(\fra ...

版主大神, 如果从
$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}$ 以及
$\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n\frac{\ln{n}}{n}=(\gamma-\frac{\ln{2}}{2})\ln{2}$ 出发, 加加减减后可以得到你想要的结果.

哦, 还有显然的 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=\ln{2}$ 也要用到. 祝楼主学运昌隆.

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We_must_know. We_will_know.

4楼2016-01-14 07:44:46

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Edstrayer

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4楼: Originally posted by hank612 at 2016-01-14 07:44:46
版主大神, 如果从
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1} 以及
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n\frac{\ln{n}}{n}=(\gamma-\frac{\ln{2}}{2})\ln{2} 出发, 加加减减后可以得到你想要的结果.

哦, 还 ...

谢谢@hank612大神，我也是这样做的，请问：

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}=\left(\gamma-\frac{1}{2}\ln 2\right)\ln 2$

又如何证明呢？

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5楼2016-01-14 16:24:54

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5楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-01-14 16:24:54
谢谢@hank612大神，我也是这样做的，请问：
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}=\left(\gamma-\frac{1}{2}\ln 2\right)\ln 2
又如何证明呢？...

https://math.stackexchange.com/q ... 1n-frac-ln-nn/41151

版主大神, 这是经典结果啊. 它的一般性结果请看下图.

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6楼2016-01-15 03:19:27

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6楼: Originally posted by hank612 at 2016-01-15 03:19:27
https://math.stackexchange.com/questions/40998/the-sum-of-1n-frac-ln-nn/41151

版主大神, 这是经典结果啊. 它的一般性结果请看下图.

Emuch030.png
...

谢啦，@hank612大神，惭愧，真的孤陋寡闻，连这么经典的结果都没见过。

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7楼2016-01-15 04:40:35

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