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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 信息科学 » 人工智能 » 有关2范数求极值，如何矩阵求导
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jbb0523

至尊木虫 (著名写手)

[求助] 有关2范数求极值，如何矩阵求导 已有2人参与

已知A是一个m*n的矩阵，是一个常矩阵，x是一个n*1的向量，是一个可变向量，求当向量x变化时||Ax||2/||x||2的最大值和最小值。其中||Ax||2和||x||2表示求2范数。
可以等价变换一下，求(||Ax||2/||x||2)^2的最大值和最小值，进一步可以等价为求以下式子的最大值和最小值。
即求x'A'Ax/(x'x)的最大值和最小值，A'和x'是求转置。
要求上面式子的最大值和最小值，我的思路就是对求x求导，但这涉及到了矩阵求导，就没有思路了……
求助。
谢谢各位！
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我不去想是否能够成功，既然选择了远方便只顾风雨兼程……
1楼 2015-12-28 15:45:40
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tangbo5885

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
最大值是A'A的最大特征值，最小值是其最小特征值。

结论很容易得出，A'A是Hermitian, 将其做特征值分解：
A'A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i v_i';
x可以写成如下形式：
x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

化简后很容易得到以上结果。任何一本矩阵分析的书都有这个结论。
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2楼2015-12-29 12:48:28
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jbb0523

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by tangbo5885 at 2015-12-29 12:48:28
最大值是A'A的最大特征值，最小值是其最小特征值。

结论很容易得出，A'A是Hermitian, 将其做特征值分解：
A'A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i v_i';
x可以写成如下形式：
x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

化简 ...

谢谢您，这个结论我也看到过，只是想通过求导求极值的方法直接求出来。再次感谢！

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我不去想是否能够成功，既然选择了远方便只顾风雨兼程……
3楼2015-12-29 12:57:34
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rock_faith

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
公式不好敲，用图片的形式，我想应该是你要的答案。
有关2范数求极值，如何矩阵求导
第一步.png


有关2范数求极值，如何矩阵求导-1
第二步.png


有关2范数求极值，如何矩阵求导-2
第三步.png


有关2范数求极值，如何矩阵求导-3
第四步.png
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太初有道，道与　神同在，道就是　神(约1:1)
4楼2015-12-29 14:10:36
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jbb0523

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by tangbo5885 at 2015-12-29 12:48:28
最大值是A'A的最大特征值，最小值是其最小特征值。

结论很容易得出，A'A是Hermitian, 将其做特征值分解：
A'A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i v_i';
x可以写成如下形式：
x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

化简 ...

谢谢 我似乎明白了 谢谢

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我不去想是否能够成功，既然选择了远方便只顾风雨兼程……
5楼2015-12-29 14:55:58
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jbb0523

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by rock_faith at 2015-12-29 14:10:36
公式不好敲，用图片的形式，我想应该是你要的答案。

第一步.png

第二步.png

第三步.png

第四步.png
...

谢谢 我应该明白了 谢谢您

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我不去想是否能够成功，既然选择了远方便只顾风雨兼程……
6楼2015-12-29 14:56:26
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jbb0523

至尊木虫 (著名写手)
查到了，这个对应矩阵分析中的“Rayleigh商”，可以参见史荣昌的《矩阵分析（第3版）》（北理工出版）的第144页的3.11节内容，谢谢楼上两位的回答……
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我不去想是否能够成功，既然选择了远方便只顾风雨兼程……
7楼2015-12-30 10:59:25
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