24小时热门版块排行榜    

查看: 2514  |  回复: 6

jbb0523

至尊木虫 (著名写手)

[求助] 有关2范数求极值,如何矩阵求导 已有2人参与

已知A是一个m*n的矩阵,是一个常矩阵,x是一个n*1的向量,是一个可变向量,求当向量x变化时||Ax||2/||x||2的最大值和最小值。其中||Ax||2和||x||2表示求2范数。
可以等价变换一下,求(||Ax||2/||x||2)^2的最大值和最小值,进一步可以等价为求以下式子的最大值和最小值。
即求x'A'Ax/(x'x)的最大值和最小值,A'和x'是求转置。
要求上面式子的最大值和最小值,我的思路就是对求x求导,但这涉及到了矩阵求导,就没有思路了……
求助。
谢谢各位!
回复此楼
我不去想是否能够成功,既然选择了远方便只顾风雨兼程……
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

tangbo5885

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
最大值是A'A的最大特征值,最小值是其最小特征值。

结论很容易得出,A'A是Hermitian, 将其做特征值分解:
A'A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i v_i';
x可以写成如下形式:
x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

化简后很容易得到以上结果。任何一本矩阵分析的书都有这个结论。
2楼2015-12-29 12:48:28
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

jbb0523

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by tangbo5885 at 2015-12-29 12:48:28
最大值是A'A的最大特征值,最小值是其最小特征值。

结论很容易得出,A'A是Hermitian, 将其做特征值分解:
A'A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i v_i';
x可以写成如下形式:
x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

化简 ...

谢谢您,这个结论我也看到过,只是想通过求导求极值的方法直接求出来。再次感谢!

发自小木虫Android客户端
我不去想是否能够成功,既然选择了远方便只顾风雨兼程……
3楼2015-12-29 12:57:34
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

rock_faith

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
公式不好敲,用图片的形式,我想应该是你要的答案。
有关2范数求极值,如何矩阵求导
第一步.png


有关2范数求极值,如何矩阵求导-1
第二步.png


有关2范数求极值,如何矩阵求导-2
第三步.png


有关2范数求极值,如何矩阵求导-3
第四步.png

太初有道,道与 神同在,道就是 神(约1:1)
4楼2015-12-29 14:10:36
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

jbb0523

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by tangbo5885 at 2015-12-29 12:48:28
最大值是A'A的最大特征值,最小值是其最小特征值。

结论很容易得出,A'A是Hermitian, 将其做特征值分解:
A'A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i v_i';
x可以写成如下形式:
x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

化简 ...

谢谢 我似乎明白了 谢谢

发自小木虫Android客户端
我不去想是否能够成功,既然选择了远方便只顾风雨兼程……
5楼2015-12-29 14:55:58
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

jbb0523

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
4楼: Originally posted by rock_faith at 2015-12-29 14:10:36
公式不好敲,用图片的形式,我想应该是你要的答案。

第一步.png

第二步.png

第三步.png

第四步.png
...

谢谢 我应该明白了 谢谢您

发自小木虫Android客户端
我不去想是否能够成功,既然选择了远方便只顾风雨兼程……
6楼2015-12-29 14:56:26
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖

jbb0523

至尊木虫 (著名写手)

查到了,这个对应矩阵分析中的“Rayleigh商”,可以参见史荣昌的《矩阵分析(第3版)》(北理工出版)的第144页的3.11节内容,谢谢楼上两位的回答……
我不去想是否能够成功,既然选择了远方便只顾风雨兼程……
7楼2015-12-30 10:59:25
已阅   回复此楼   关注TA 给TA发消息 送TA红花 TA的回帖
相关版块跳转 我要订阅楼主 jbb0523 的主题更新
最具人气热帖推荐 [查看全部] 作者 回/看 最后发表
[教师之家] 售SCI一区文章,我:8O5.5.1.O5.4,科目全,可伽急 +3 jRl3mE6ddZGq 2026-08-03 8/400 2026-08-04 06:17 by k7OM8YghWbkC
[论文投稿] 售SCI一区T0P文章,我:8.O.55.1.O.5.4,科目全,可+急 +3 jRl3mE6ddZGq 2026-08-03 8/400 2026-08-04 06:15 by k7OM8YghWbkC
[考博] 售SCI一区T0P文章,我:8.O55.1.O.54,科目全,可十急 +3 cu9Nq1xK233Z 2026-08-03 6/300 2026-08-04 06:10 by k7OM8YghWbkC
[教师之家] 售SCI一区文章,我:8.O.551.O.5.4,科目全,可伽急 +4 cu9Nq1xK233Z 2026-08-03 9/450 2026-08-04 06:07 by k7OM8YghWbkC
[论文投稿] 售SCI文章,我:8O.5.5.1O.54,科目全,可十急 +3 jRl3mE6ddZGq 2026-08-03 4/200 2026-08-04 04:54 by k7OM8YghWbkC
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章,我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +3 jRl3mE6ddZGq 2026-08-03 6/300 2026-08-04 04:47 by k7OM8YghWbkC
[公派出国] 售SCI一区文章,我:8.O.551.O.5.4,科目全,可伽急 +3 cu9Nq1xK233Z 2026-08-03 7/350 2026-08-04 04:46 by k7OM8YghWbkC
[博后之家] 售SCI一区文章,我:8O5.5.1.O5.4,科目全,可伽急 +3 cu9Nq1xK233Z 2026-08-03 8/400 2026-08-04 04:46 by k7OM8YghWbkC
[有机交流] 一个有机合成实验室都需要哪些设备? 50+3 kf2781974 2026-07-31 9/450 2026-08-04 03:56 by kf2781974
[考研] 售SCI一区文章,我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可伽急 +3 cu9Nq1xK233Z 2026-08-03 8/400 2026-08-04 03:21 by k7OM8YghWbkC
[硕博家园] 售SCI一区T0P文章,我:8.O.55.1.O.54,科目齐全,可+急 +4 cu9Nq1xK233Z 2026-08-03 12/600 2026-08-04 03:17 by k7OM8YghWbkC
[基金申请] 什么时候能放榜呀? +3 Jacob678 2026-08-03 3/150 2026-08-03 16:14 by gltch
[高分子] UV压敏胶开发 +3 ichall 2026-07-30 5/250 2026-08-03 14:40 by Sunrisepay
[基金申请] 2026年国自然面上资助率 +16 布布和一二 2026-07-30 22/1100 2026-08-03 09:20 by gy116024
[教师之家] 基础研究怎么拉横向,学校到款任务越来越多,难以完成 拉横向,都有哪些途径啊 +8 锦衣卫寒战 2026-07-28 12/600 2026-08-03 08:22 by syl200707
[基金申请] 微信指数没变化,科研之友没阅读 +15 wangze12014 2026-07-28 19/950 2026-08-02 20:05 by 蔡棒棒菂
[考博] 2027年申博 50+3 射雕英雄胜 2026-07-30 3/150 2026-08-02 09:36 by lfy8008
[高分子] HXDI做水性聚氨酯乳液,是不是特别容易出渣 15+3 yuyusuv 2026-07-29 3/150 2026-07-31 09:21 by huizingga
[基金申请] 系统今天又提示维护了,估计离放榜不远了 +11 winnerche 2026-07-29 15/750 2026-07-30 23:08 by jnhyjjm
[基金申请] 你们的时间戳变了吗 +3 archvillain 2026-07-30 4/200 2026-07-30 18:53 by levinzhwen
信息提示
请填处理意见