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jbb0523

至尊木虫 (著名写手)

[求助] 有关2范数求极值,如何矩阵求导 已有2人参与

已知A是一个m*n的矩阵,是一个常矩阵,x是一个n*1的向量,是一个可变向量,求当向量x变化时||Ax||2/||x||2的最大值和最小值。其中||Ax||2和||x||2表示求2范数。
可以等价变换一下,求(||Ax||2/||x||2)^2的最大值和最小值,进一步可以等价为求以下式子的最大值和最小值。
即求x'A'Ax/(x'x)的最大值和最小值,A'和x'是求转置。
要求上面式子的最大值和最小值,我的思路就是对求x求导,但这涉及到了矩阵求导,就没有思路了……
求助。
谢谢各位!
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我不去想是否能够成功,既然选择了远方便只顾风雨兼程……
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jbb0523

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by tangbo5885 at 2015-12-29 12:48:28
最大值是A'A的最大特征值,最小值是其最小特征值。

结论很容易得出,A'A是Hermitian, 将其做特征值分解:
A'A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i v_i';
x可以写成如下形式:
x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

化简 ...

谢谢您,这个结论我也看到过,只是想通过求导求极值的方法直接求出来。再次感谢!

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我不去想是否能够成功,既然选择了远方便只顾风雨兼程……
3楼2015-12-29 12:57:34
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查看全部 7 个回答

tangbo5885

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
最大值是A'A的最大特征值,最小值是其最小特征值。

结论很容易得出,A'A是Hermitian, 将其做特征值分解:
A'A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i v_i';
x可以写成如下形式:
x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

化简后很容易得到以上结果。任何一本矩阵分析的书都有这个结论。
2楼2015-12-29 12:48:28
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rock_faith

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
公式不好敲,用图片的形式,我想应该是你要的答案。
有关2范数求极值,如何矩阵求导
第一步.png


有关2范数求极值,如何矩阵求导-1
第二步.png


有关2范数求极值,如何矩阵求导-2
第三步.png


有关2范数求极值,如何矩阵求导-3
第四步.png

太初有道,道与 神同在,道就是 神(约1:1)
4楼2015-12-29 14:10:36
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jbb0523

至尊木虫 (著名写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by tangbo5885 at 2015-12-29 12:48:28
最大值是A'A的最大特征值,最小值是其最小特征值。

结论很容易得出,A'A是Hermitian, 将其做特征值分解:
A'A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i v_i';
x可以写成如下形式:
x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i

化简 ...

谢谢 我似乎明白了 谢谢

发自小木虫Android客户端
我不去想是否能够成功,既然选择了远方便只顾风雨兼程……
5楼2015-12-29 14:55:58
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