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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 函数凹凸性的性质证明
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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)

[求助] 函数凹凸性的性质证明 已有3人参与

大家好，我在学习函数凹凸性的时候，遇到一个证明，求解一下证明方法。第6题的c小问，谢谢。告诉我方法，或者用latex格式的证明过程。

函数凹凸性的性质证明
convex.png
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1楼 2015-12-09 16:00:55
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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)
引用回帖:
8楼: Originally posted by laosam280 at 2015-12-09 17:32:50
假设 g(x) = f(x)/x, 取任意的 x1<x2
由凸函数定义：
(x1+x2)*g((x1+x2)/2)/2 <= (x1*g(x1) + x2*g(x2))/2
约去1/2，且令x1为零，有
x2*g(x2/2) <= x2*g(x2)
情形1： 成立小于号。此时对于任意的x2&g ...

您好，您得到了那个不等式，不能完全分成情形1和情形2，这两个情形默认的都是“恒成立”。但是这个不等式，可以有的时候取等，有的时候不取等。另外，情形1和情形2将结论分成了两个。但是存在一种情况，g（x）只趋近于一个常数，有极限，但不是常值函数。谢谢！
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9楼2015-12-09 20:17:14
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laosam280

禁虫 (正式写手)
感谢参与，应助指数 +1
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2楼2015-12-09 16:28:19
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
思路是这样的，假设这个函数是光滑的，它的二阶导数f''>=0, 根据洛必达法则 lim f(x)/x = lim f'(x), 如果f‘’>0, 那么极限就是无穷，如果f''=0, 那么极限是常数。
一般情况，过程写起来比较复杂，但是思想是一样的，就是弄清楚”凸函数推出二阶导f''>=0“ 的过程，避免使用可导，中值定理和洛必达法则。比较大小就可以。
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3楼2015-12-09 16:29:21
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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by laosam280 at 2015-12-09 16:28:19
如果f有界，则f为常值，于是极限为0（finite limit）
如果f无界，使用洛必达法则。得到f'，若为零，矛盾；若不为零，则结论已证。

您好，convex不一定可导。希望得到一个严格一点的证明，谢谢。
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4楼2015-12-09 16:37:54
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