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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)

[求助] 函数凹凸性的性质证明 已有3人参与

大家好,我在学习函数凹凸性的时候,遇到一个证明,求解一下证明方法。第6题的c小问,谢谢。告诉我方法,或者用latex格式的证明过程。

函数凹凸性的性质证明
convex.png
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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by laosam280 at 2015-12-09 16:28:19
如果f有界,则f为常值,于是极限为0(finite limit)
如果f无界,使用洛必达法则。得到f',若为零,矛盾;若不为零,则结论已证。

您好,convex不一定可导。希望得到一个严格一点的证明,谢谢。
4楼2015-12-09 16:37:54
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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)

大家好,光滑函数太特殊了,希望用这个定义来证明。
函数凹凸性的性质证明-1
convex1.png

7楼2015-12-09 16:49:24
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★
感谢参与,应助指数 +1
zeng84638507: 金币+1, 有帮助 2015-12-10 23:18:00
zeng84638507: 金币+3, ★★★很有帮助, 谢谢了,和原题很类似,我已经能够想明白了。 2015-12-11 12:07:53
裴礼文著--数学分析中的典型问题与方法---一书中有关于这个问题的讨论---去看看!
善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
11楼2015-12-10 17:37:42
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普通回帖

laosam280

禁虫 (正式写手)

感谢参与,应助指数 +1
本帖内容被屏蔽

2楼2015-12-09 16:28:19
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
思路是这样的,假设这个函数是光滑的,它的二阶导数f''>=0, 根据洛必达法则 lim f(x)/x = lim f'(x), 如果f‘’>0, 那么极限就是无穷,如果f''=0, 那么极限是常数。
一般情况,过程写起来比较复杂,但是思想是一样的,就是弄清楚”凸函数推出二阶导f''>=0“ 的过程,避免使用可导,中值定理和洛必达法则。比较大小就可以。
3楼2015-12-09 16:29:21
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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)

引用回帖:
3楼: Originally posted by sskkyy at 2015-12-09 16:29:21
思路是这样的,假设这个函数是光滑的,它的二阶导数f''>=0, 根据洛必达法则 lim f(x)/x = lim f'(x), 如果f‘’>0, 那么极限就是无穷,如果f''=0, 那么极限是常数。
一般情况,过程写起来比较复杂,但是思想 ...

您好,如果函数是光滑的,我是想的通的。现在想找到一个严格的方法去证明这个命题。谢谢
5楼2015-12-09 16:39:17
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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)

引用回帖:
2楼: Originally posted by laosam280 at 2015-12-09 16:28:19
如果f有界,则f为常值,于是极限为0(finite limit)
如果f无界,使用洛必达法则。得到f',若为零,矛盾;若不为零,则结论已证。

您好,洛必达也需要可导。

发自小木虫Android客户端
6楼2015-12-09 16:45:51
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laosam280

禁虫 (正式写手)


zeng84638507: 金币+1, 有帮助 2015-12-10 23:16:57
本帖内容被屏蔽

8楼2015-12-09 17:32:50
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zeng84638507

铁杆木虫 (著名写手)

引用回帖:
8楼: Originally posted by laosam280 at 2015-12-09 17:32:50
假设 g(x) = f(x)/x, 取任意的 x1<x2
由凸函数定义:
(x1+x2)*g((x1+x2)/2)/2 <= (x1*g(x1) + x2*g(x2))/2
约去1/2,且令x1为零,有
x2*g(x2/2) <= x2*g(x2)
情形1: 成立小于号。此时对于任意的x2&g ...

您好,您得到了那个不等式,不能完全分成情形1和情形2,这两个情形默认的都是“恒成立”。但是这个不等式,可以有的时候取等,有的时候不取等。另外,情形1和情形2将结论分成了两个。但是存在一种情况,g(x)只趋近于一个常数,有极限,但不是常值函数。谢谢!
9楼2015-12-09 20:17:14
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laosam280

禁虫 (正式写手)

本帖内容被屏蔽

10楼2015-12-09 20:31:40
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