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lovemadk

铁虫 (小有名气)

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1楼 2015-12-04 19:18:43

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nankeqiren

新虫 (初入文坛)

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【答案】应助回帖

本题可用数学归纳法证，可归纳证得：任何n维空间的内部向量才与空间所有正交基的夹角的余弦的平方和才都为1。依楼主题意，β在4维空间才是内部向量，故还缺第4个夹角Θ4，即对应有它的余弦的平方加进去才为1，故在原命题中的和＜1.

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12楼2015-12-05 10:45:45

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sskkyy

银虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

首先能表出，因为那些正交向量是基。其次不等式可以是等号，比如一个角是九十度。

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2楼2015-12-04 19:45:18

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lovemadk

铁虫 (小有名气)

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会了！

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3楼2015-12-04 19:45:41

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junefi

铁杆木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Edstrayer: 金币+3, latex应助 2015-12-05 00:51:10

不妨设 $\alpha_i$ 为单位向量，由于 $\beta$ 不能由 $\alpha_i$ 线性表示，于是存在非零向量 $z$ 且 $z \bot {\alpha _i}$ 使得
$\beta  = \left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle {\alpha _1} + \left\langle {\beta ,{\alpha _2}} \right\rangle {\alpha _2} + \left\langle {\beta ,{\alpha _3}} \right\rangle {\alpha _3} + z$
所以有
${\left\| \beta  \right\|^2} = {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _2}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _3}} \right\rangle } \right|^2} + {\left\| z \right\|^2} > {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _2}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _3}} \right\rangle } \right|^2}$
两边同时除以 ${\left\| \beta  \right\|^2}$ ，不等号右边就是
${\cos ^2}{\theta _1} + {\cos ^2}{\theta _2} + {\cos ^2}{\theta _3}$
左边为1.

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lovemadk

理论改变世界！

4楼2015-12-04 19:49:58

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