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lovemadk

铁虫 (小有名气)

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1楼 2015-12-04 19:18:43

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junefi

铁杆木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Edstrayer: 金币+3, latex应助 2015-12-05 00:51:10

不妨设 $\alpha_i$ 为单位向量，由于 $\beta$ 不能由 $\alpha_i$ 线性表示，于是存在非零向量 $z$ 且 $z \bot {\alpha _i}$ 使得
$\beta  = \left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle {\alpha _1} + \left\langle {\beta ,{\alpha _2}} \right\rangle {\alpha _2} + \left\langle {\beta ,{\alpha _3}} \right\rangle {\alpha _3} + z$
所以有
${\left\| \beta  \right\|^2} = {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _2}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _3}} \right\rangle } \right|^2} + {\left\| z \right\|^2} > {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _2}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _3}} \right\rangle } \right|^2}$
两边同时除以 ${\left\| \beta  \right\|^2}$ ，不等号右边就是
${\cos ^2}{\theta _1} + {\cos ^2}{\theta _2} + {\cos ^2}{\theta _3}$
左边为1.