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lovemadk

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1楼 2015-12-04 19:18:43

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junefi

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不妨设 $\alpha_i$ 为单位向量，由于 $\beta$ 不能由 $\alpha_i$ 线性表示，于是存在非零向量 $z$ 且 $z \bot {\alpha _i}$ 使得
$\beta  = \left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle {\alpha _1} + \left\langle {\beta ,{\alpha _2}} \right\rangle {\alpha _2} + \left\langle {\beta ,{\alpha _3}} \right\rangle {\alpha _3} + z$
所以有
${\left\| \beta  \right\|^2} = {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _2}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _3}} \right\rangle } \right|^2} + {\left\| z \right\|^2} > {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _2}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {\beta ,{\alpha _3}} \right\rangle } \right|^2}$
两边同时除以 ${\left\| \beta  \right\|^2}$ ，不等号右边就是
${\cos ^2}{\theta _1} + {\cos ^2}{\theta _2} + {\cos ^2}{\theta _3}$
左边为1.

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lovemadk

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4楼2015-12-04 19:49:58

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nankeqiren

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本题可用数学归纳法证，可归纳证得：任何n维空间的内部向量才与空间所有正交基的夹角的余弦的平方和才都为1。依楼主题意，β在4维空间才是内部向量，故还缺第4个夹角Θ4，即对应有它的余弦的平方加进去才为1，故在原命题中的和＜1.

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11楼2015-12-05 10:43:43

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nankeqiren

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12楼2015-12-05 10:45:45

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sskkyy

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【答案】应助回帖

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首先能表出，因为那些正交向量是基。其次不等式可以是等号，比如一个角是九十度。

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2楼2015-12-04 19:45:18

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lovemadk

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3楼2015-12-04 19:45:41

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lovemadk

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1楼: Originally posted by lovemadk at 2015-12-04 19:18:43
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5楼2015-12-04 19:59:51

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4楼: Originally posted by junefi at 2015-12-04 19:49:58
不妨设\alpha_i为单位向量，由于\beta不能由\alpha_i线性表示，于是存在非零向量z且z \bot {\alpha _i}使得
\beta = \left\langle {\beta ,{\alpha _1}} \right\rangle {\alpha _1} + \left\langle {\beta ,{\alp ...

谢谢

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6楼2015-12-04 20:01:27

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7楼2015-12-04 22:17:10

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8楼2015-12-04 22:28:46

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7楼: Originally posted by lovemadk at 2015-12-04 22:17:10
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9楼2015-12-04 22:29:14

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junefi

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9楼: Originally posted by lovemadk at 2015-12-04 22:29:14
谢谢，知道了
...

这是“勾股定理”， $\beta$ 的长度的平方等于各“直角边”的平方和（Remark: $\left\{ {{\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},z} \right\}$ 两两垂直）。

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10楼2015-12-05 09:10:16

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