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--power

金虫 (小有名气)

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[求助] 求极限已有2人参与

请问一下各位大神，下面这个题怎么做？
$\lim_{x\to \infty}(\frac{1}{x}+2^{\frac{1}{x}})^x$
麻烦各位大神帮忙解答一下。。。

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1楼 2015-11-28 09:23:08

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--power

金虫 (小有名气)

顶一下

2楼2015-11-28 09:23:59

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xiangxiang32

新虫 (正式写手)

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取自然对数

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3楼2015-11-28 09:26:11

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--power

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★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金币+5, Latex发帖 2015-11-28 09:57:13

引用回帖:

3楼: Originally posted by xiangxiang32 at 2015-11-28 09:26:11
取自然对数

请问是这样吗？
$\ln \lim_{x\to \infty} (\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x$
$=\lim_{x\to \infty}\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x$
$=\lim_{x\to \infty}x\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})$
$=\lim_{x\to \infty}\frac{\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})}{\frac{1}{x}}$
$=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(t+2^t)}{t}$
$=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{1+2^t\ln2}{t+2^t}}{1}$
$=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(2^{2^t}\cdot e)}{t+2^t}\cdots\cdots(1)$
$=\ln 2e$
$\therefore \lim_{x\to \infty} (\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x=2e$

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4楼2015-11-28 09:49:09

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xiangxiang32

新虫 (正式写手)

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引用回帖:

4楼: Originally posted by --power at 2015-11-28 09:49:09
请问是这样吗？
\ln \lim_{x\to \infty} (\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x
=\lim_{x\to \infty}\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x
=\lim_{x\to \infty}x\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})
=\lim_{x\to \infty}\frac{\l ...

就是这个方法

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5楼2015-11-28 10:08:00

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--power

金虫 (小有名气)

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引用回帖:

5楼: Originally posted by xiangxiang32 at 2015-11-28 10:08:00
就是这个方法
...

哦，好的，谢谢

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6楼2015-11-28 11:32:03

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菜鸟刘宇

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【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
--power(Edstrayer代发): 金币+2, 谢谢参与应助 2015-11-29 00:54:51

原式=limx→∞ e^(x*ln(1/x+2^(1/x)))
令t=1/x,则limx→∞ ln(1/x+2^(1/x))/(1/x)
         =limt→0 ln(t+2^t)/t
         =limt→0  (1+(2^t)*in2)/(t+2^t)···洛必达法则
         =1+ln2
则原式=e^(1+ln2)

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7楼2015-11-29 00:29:20

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--power

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引用回帖:

7楼: Originally posted by 菜鸟刘宇 at 2015-11-29 00:29:20
原式=limx→∞ e^(x*ln(1/x+2^(1/x)))
令t=1/x,则limx→∞ ln(1/x+2^(1/x))/(1/x)
         =limt→0 ln(t+2^t)/t
         =limt→0  (1+(2^t)*in2)/(t+2^t)···洛必达法则
         =1+ln2
则原式 ...

取指数也行！
但最后一步最好做一下化简：
$e^{1+\ln 2}=e^{\ln 2e}=2e$

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8楼2015-11-29 08:37:24

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peterflyer

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peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
--power(Edstrayer代发): 金币+2 2015-12-18 02:07:12

Lim{[2^(1/x)+1/x]^x,x-->0}
=Lim{{2^(1/x)*{1+1/[2^(1/x)*x]}}^x , x-->0}
=2*Lim{{1+1/[2^(1/x)*x]}^x , x-->0}
令u=2^(1/x)
x=Ln2/Lnu
原式=2*Lim{[1+Lnu/(u*Ln2)]^(Ln2/Lnu) , u-->1}
=2*Lim{{[1+Lnu/(u*Ln2)]^(u*Ln2/Lnu)}^(1/u) , u-->1}
=2*Lim{{[1+Lnu/(u*Ln2)]^(u*Ln2/Lnu)} , u-->1}
再令t=Lnu/(u*Ln2)
原式=2*Lim{{[1+t]^(1/t)} , t-->∞}
=2*e

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9楼2015-12-01 09:13:09

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