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--power

金虫 (小有名气)

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[求助] 求极限已有2人参与

请问一下各位大神，下面这个题怎么做？
$\lim_{x\to \infty}(\frac{1}{x}+2^{\frac{1}{x}})^x$
麻烦各位大神帮忙解答一下。。。

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1楼 2015-11-28 09:23:08

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xiangxiang32

新虫 (正式写手)

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引用回帖:

4楼: Originally posted by --power at 2015-11-28 09:49:09
请问是这样吗？
\ln \lim_{x\to \infty} (\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x
=\lim_{x\to \infty}\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x
=\lim_{x\to \infty}x\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})
=\lim_{x\to \infty}\frac{\l ...

就是这个方法

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5楼2015-11-28 10:08:00

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xiangxiang32

新虫 (正式写手)

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取自然对数

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3楼2015-11-28 09:26:11

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--power

金虫 (小有名气)

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Edstrayer: 金币+5, Latex发帖 2015-11-28 09:57:13

引用回帖:

3楼: Originally posted by xiangxiang32 at 2015-11-28 09:26:11
取自然对数

请问是这样吗？
$\ln \lim_{x\to \infty} (\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x$
$=\lim_{x\to \infty}\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x$
$=\lim_{x\to \infty}x\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})$
$=\lim_{x\to \infty}\frac{\ln(\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})}{\frac{1}{x}}$
$=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(t+2^t)}{t}$
$=\lim_{t\to 0}\frac{\frac{1+2^t\ln2}{t+2^t}}{1}$
$=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(2^{2^t}\cdot e)}{t+2^t}\cdots\cdots(1)$
$=\ln 2e$
$\therefore \lim_{x\to \infty} (\frac{1}{x}+2^{{1}{x}})^x=2e$