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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 问一个行列式不等式证明，设A半正定，则det(A)^(1/m) <= 1/m. det(A)
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numzero

新虫 (初入文坛)

[求助] 问一个行列式不等式证明，设A半正定，则det(A)^(1/m) <= 1/m. det(A)已有1人参与

A半正定，则det(A)^(1/m) <= 1/m. det(A)这个怎么证

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1楼2015-11-17 18:57:18
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
命题不成立：
当为n阶单位矩阵式，A是正定的，但是当时，有：，因此就有：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2015-11-17 19:11:43
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numzero

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-17 19:11:43
命题不成立：
当A=I_n为n阶单位矩阵式，A是正定的，但是当m>1时，有：det(A)=1，因此就有：
\left(det(A)\right)^{\frac{1}{m}}=1>\frac{1}{m}det(A)...

是书搞错了。我开始是这么想的，后面觉得可能是非正定的，然后又举不出半正定又不正定的例子，不过刚才找到原题了,后面是tr(A).谢谢

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3楼2015-11-17 19:22:18
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
3楼: Originally posted by numzero at 2015-11-17 19:22:18
是书搞错了。我开始是这么想的，后面觉得可能是非正定的，然后又举不出半正定又不正定的例子，不过刚才找到原题了,后面是tr(A).谢谢
...

也是错的
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2015-11-18 18:22:28
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numzero

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-18 18:22:28
也是错的...

是这样   det(A)^(1/m) <= 1/m tr(A)

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5楼2015-11-18 20:09:43
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
改正了以后的题目证法:
det(A)=λ1λ2...λn
再用基本不等式即可!
(λ1λ2...λn)^(1/m)<=(λ1+λ2+...+λn)/m=1/m tr(A)
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
6楼2015-11-18 22:13:51
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
6楼: Originally posted by wurongjun at 2015-11-18 22:13:51
改正了以后的题目证法:
det(A)=λ1λ2...λn
再用基本不等式即可!
(λ1λ2...λn)^(1/m)<=(λ1+λ2+...+λn)/m=1/m tr(A)

改正以后命题也不成立
事实上，当为n阶单位矩阵时，


于是就有，当时，有：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2015-11-19 00:16:32
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-19 00:16:32
改正以后命题也不成立
事实上，当A=I_n为n阶单位矩阵时，
det(A)=1,tr(A)=n
于是就有，当m>n时，有：
\left(det(A)\right)^{\frac{1}{m}}=1>\frac{n}{m}=\frac{1}{m}\cdot tr(A)...

Edstrayer, wurongjun 以及 楼主都是正确的, 题目需要表述清楚:

设A是 mxm的半正定矩阵, 则:

https://en.wikipedia.org/wiki/In ... and_geometric_means
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We_must_know. We_will_know.
8楼2015-11-19 01:21:07
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-19 00:16:32
改正以后命题也不成立
事实上，当A=I_n为n阶单位矩阵时，
det(A)=1,tr(A)=n
于是就有，当m>n时，有：
\left(det(A)\right)^{\frac{1}{m}}=1>\frac{n}{m}=\frac{1}{m}\cdot tr(A)...

疏忽啦!
应该是m为矩阵的阶数!
改正了以后的题目证法:
det(A)=λ1λ2...λn
再用基本不等式即可!
(λ1λ2...λn)^(1/n)<=(λ1+λ2+...+λn)/n=1/n tr(A)
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
9楼2015-11-19 09:12:17
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