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LeBlanc

金虫 (小有名气)

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[求助] 一道高数题已有2人参与

为何C不正确？这个函数的三阶导数都为0了，拐点为什么还存在？

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1楼2015-11-06 15:36:01

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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

拐点是指凹凸性改变的点！二阶导等于零并不意味着凹凸性发生改变！

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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

3楼2015-11-06 21:16:49

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呆呆小宙斯

铜虫 (初入文坛)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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LeBlanc: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2015-11-07 00:02:27

五阶导数为2 如果首次不为0的高阶导是奇数阶（除去一阶导数）则为拐点
如果是偶数阶则为极值点
可以由麦克劳林展开证明

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2楼2015-11-06 17:24:00

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阿行

新虫 (初入文坛)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金币+5, 应助指数+1, ok 2015-11-08 14:04:48

将2楼的想法展开。
将 $f'(x)$ 移到方程的左边，容易发现 $f(x)$ 是无穷次可微的。由此，可以推出 $f'''(1) = f^{(4)}(1) = 0, f^{(5)}(1) = 2$ . 于是，
$f(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{1}{2}f''(1) (x - 1)^2 + \frac{1}{3!}f'''(1) (x - 1)^3 + \frac{1}{4!}f^{(4)}(1) (x - 1)^4 + \frac{1}{5!}f^{(5)}(1) (x - 1)^5 + o((x - 1)^5) = \frac{1}{60}(x - 1)^5 + o((x - 1)^5), \ {\rm as} \ x \to 0$ .
同样，我们有
$f''(x) = f''(1) + f'''(1) (x - 1) + \frac{1}{2!}f^{(4)}(1) (x - 1)^2 + \frac{1}{3!}f^{(5)}(1) (x - 1)^3 + o((x - 1)^3) = \frac{1}{3}(x - 1)^3 + o((x - 1)^3), \ {\rm as} \ x \to 0$ .
于是，当 $x > 1$ 且在 $1$ 附近时， $f''(x) > 0$ , $f'(x)$ 单调增；而当 $x < 1$ 且在 $1$ 附近时， $f''(x) < 0$ , $f'(x)$ 单调减。所以， $x = 1$ 是拐点。

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LeBlanc

4楼2015-11-07 11:51:14

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阿行

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5楼2015-11-07 11:53:14

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