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sreveryone

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[求助] 高等数学题目求助已有2人参与

设函数f(x)在[0,1]上连续，且∫上限为1，下限为0 f(x)dx=0,∫上限为1，下限为0 xf(x)dx=1,试证明：
<1>在[0,1]上存在x0使得：|f(x0)|>4
<2>在[0,1]上存在x1使得：|f(x1)|=4

QQ图片20151022222644.jpg

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1楼 2015-10-22 22:27:36

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阿行

新虫 (初入文坛)

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引用回帖:

11楼: Originally posted by sreveryone at 2015-10-23 19:34:01
我也觉得应该是这样假设，但是后面该怎么放缩？求教...

$\int_0^1 \left|x - \frac{1}{2}\right| \left(|f(x)| - 4 \right) dx = 0, \ \left|x - \frac{1}{2}\right| \left(|f(x)| - 4 \right) \leq 0$ ，同时函数 $\left|x - \frac{1}{2}\right| \left(|f(x)| - 4 \right)$ 又是连续的，那意味着什么？可能吗？

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13楼2015-10-24 21:49:32

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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★ ★
sreveryone(feixiaolin代发): 金币+2 2015-10-23 22:03:23

（1）反证：假设 $\fprall x\in[0,1],\quad\text{such that}\quad\mid f(x)\mid <4$
则由题设条件就得到： $\int_0^1(x-\frac{1}{2})f(x)dx=1$ ，所以就有：

$1\leqslant\int_0^1\mid x-\frac{1}{2}\mid\mid f(x)\mid dx< 4\int_0^1\mid x-\frac{1}{2}\mid dx=1$

这是一个矛盾！所以反设不成立，因此就有命题结论成立。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2015-10-22 22:44:00

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sreveryone

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引用回帖:

3楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-10-22 22:44:00
（1）反证：假设\fprall x\in,\quad\text{such that}\quad\mid f(x)\mid <4
则由题设条件就得到：\int_0^1(x-\frac{1}{2})f(x)dx=1，所以就有：
1\leqslant\int_0^1\mid x-\frac{1}{2}\mid\mid f(x)\mid dx< ...

大神你好请问第二问怎么做

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4楼2015-10-22 22:58:31

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