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Edstrayer

版主 (著名写手)

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设 $a_0<a_1<a_2<\cdots<a_n<a_{n+1}<\cdots$ 是正整数的无穷序列，试证：无穷级数

$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{[a_n,a_{n+1}]}$

收敛，这里 $[a_n,a_{n+1}]$ 表示正整数 $a_n,a_{n+1}$ 的最小公倍数。

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1楼2015-10-11 05:02:40

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0404600213

金虫 (正式写手)

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虫号: 2224916

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某楼的思路是对的，我补充一下

因为最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公约数
又因为 $\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}*a_{n+1}}$
再由于 $(a_{n},a_{n+1})|(a_{n+1}-a_{n})$
所以得出1/[a(n),a(n+1)]<=1/a(n)-1/a(n+1)
所以原级数[img]https://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum\frac{1}{[a_{n},a_{n+1}]}\leq\sum(\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}})=\frac{1}{a_{0}}[/img]